« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| titre = Suites récurrentes d'ordre un
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Suite récurrente linéaire]]
| numero = 1
| précédent = [[Suite récurrente linéaire|Sommaire]]
| suivant = [[
| niveau = 13
}}
==Définition==
{{Définition
| contenu = Soit ''a, b'' deux nombres réels ou complexes. Soit ''n > 0'' un entier naturel. On appelle '''suite récurrente linéaire d'ordre un''' toute suite définie par une relation de la forme :
:<math>u_n = au_{n-1} + b</math>
étant donné une condition initiale sur ''u<sub>0</sub>''.
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De telles suites peuvent être entièrement résolues, et c'est l'objet de ce premier chapitre.
==Étude de cas particuliers==
Avant de nous lancer dans la résolution générale, regardons quelques cas particuliers :
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L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.
==Les premiers termes de la suite==
:<math>u_1 = au_0 + b\,</math>
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Est-ce bon dans le cas général ?
==Le cas général==
Réécrivons la formule précédente sous une forme plus générique :
:<math>u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b = a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib</math>
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Pour conclure, la solution est comme suit :
| titre = Suite récurrente linéaire d'ordre un | contenu = Soit ''a'' et ''b'' deux réels. Les suites solutions de la relation de récurrence :
:<math>u_{n+1} = a u_n + b\,</math>
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{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Suite récurrente linéaire]]
| précédent = [[Suite récurrente linéaire|Sommaire]]
| suivant = [[
}}
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