« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

{{Chapitre|titre=Produit scalaire|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Espace préhilbertien réel]]|numero=2|précédent=[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques|Formes bilinéaires symétriques]]|suivant=[[Espace préhilbertien réel/Orthogonalité|Orthogonalité]]|niveau=14}}

 

{{définition|contenu=On appelle '''produit scalaire sur E''' toute '''forme bilinéaire symétrique définie positive''' sur E.}}

 

 

{{principe|titre=Convention de notation|contenu=On notera ce produit scalaire <math>(\cdot|\cdot)</math> (au lieu de <math>f(\cdot,\cdot)</math>).}}

{{théorème|titre=Inégalité de Cauchy-Schwarz|contenu=<math>\forall(x,y)\in E^2,~(x|y)^2\leq(x|x)(y|y)</math>

 

On a égalité ssi (x,y) est liée.}}

{{définition|contenu=On définit sur E la '''norme préhilbertienne''' <nowiki>||.||</nowiki> (c'est-à-dire associée au produit scalaire <nowiki>(.|.)</nowiki> ) par <math>\forall x\in E,~||x||=\sqrt{(x|x)}</math>.}}

 

\end{array}</math>}}

 

{{théorème|titre=Inégalité triangulaire|contenu=

*<math>\forall(x,y)\in E^2,~|||x||-||y|||\leq ||x+y||\leq ||x||+||y||</math>

 

 

<math>E=\ell^2(\R)</math> muni du produit scalaire <math>\forall(u,v)\in E^2,~(u|v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n</math>

*La norme associée est la norme 2 : <math>\forall u\in E,~||u||_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2}</math>

 

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[[Catégorie:Espace préhilbertien réel]]