« Relativité restreinte » : différence entre les versions
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Maxwell a inventé
Le résultat de l'expérience a été négatif : la lumière se comporte comme s'il n'y avait pas de vent d'Ether. Le calcul du déplacement des franges dans l'hypothèse de l'addition galiléenne des vitesses est donc faux. Pour le corriger, on a complété la relativité galiléenne par les hypothèses de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs. On peut aussi utiliser la transformation de Lorentz, conséquence des équations de Maxwell, qu'Einstein a redémontrée à partir de considérations simples sans rapport avec l'électrodynamique en imaginant, après d'Alembert, que le temps était une quatrième dimension, donnant, par exemple, un espace-temps euclidien à quatre dimensions, x,y,z, w=ict.
Ligne 15 :
Pour obtenir la transformation de Lorentz, on utilise des référentiels galiléens, ce qui se traduit par une transformation linéaire. Ensuite on applique l'indépendance de la vitesse de la lumière et du référentiel. Enfin le principe de relativité.
=== Référentiels galiléens ===
En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. La relation linéaire la plus générale possible, c’est-à-dire avec quatre coefficients constants, α, β, γ et v est :
:<math>x'=\gamma\left(x-vt\right)</math>
Ligne 23 :
La transformation de Lorentz devient celle de Galilée pour β = γ = 1 et α = 0.
=== Vitesse de la lumière indépendante de celle de la source ===
La lumière n'est pas soumise à la vitesse d'entraînement, comme l'a montré l'expérience de Michelson. Pour que la vitesse c de la lumière soit constante quel que soit le référentiel, on doit avoir x = ct si x’ = ct’. En remplaçant x et x’ dans les deux équations précédentes, on a
Ligne 33 :
:<math>1+\alpha c=\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c}) </math>
=== Principe de relativité ===
D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative.
Ligne 54 :
:<math>\beta =\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha v}}</math>
=== Expression de la transformation de Lorentz ===
En utilisant la relation <math>\beta=\gamma</math> du paragraphe précédent dans
:<math>1+\alpha c=\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c}) </math>
Ligne 108 :
On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.
== Paradoxe des jumeaux de Langevin ==
Le paradoxe des jumeaux de Langevin ou des horloges consiste à comparer l'heure donnée par deux horloges de haute précision comme les horloges atomiques, l'une restant sur Terre et l'autre faisant un voyage autour de la Terre ou dans le cosmos. On compare les indications des deux horloges à l'aller et au retour.
Ligne 125 :
:<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2-c^2dt^2}</math>
Pour éviter les nombres imaginaires
:<math>\tau_1=\int_{0}^P dt=t_P</math>
et
:<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{dt^2-\frac{dx^2}{c^2}}<t_P</math>
On a τ<sub>2</sub><
:<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt<t_P</math>
Ligne 162 :
v' étant la vitesse dans le référentiel propre, elle doit y être nulle, alors que l'accélération ne l'est pas. C'est comme dans un ascenseur ou dans une voiture où on ressent l'accélération alors qu'on y est immobile.
== Dynamique relativiste ==
=== Loi de Newton relativiste ===
Multiplions les deux membres de l'équation de la transformation des accélérations par la masse au repos m<sub>0</sub>, constante:
Ligne 176 :
:<math>dT=Fdx=Fvdt=\frac{d\left(m_{r}v\right)}{dt}v dt=m_{0}vd\left(\gamma v\right)</math>
Utilisons une identité analogue à celle de Lorentz, vue plus haut:
:<math>vd\left(\gamma v\right)=v\gamma dv+v^2 d\gamma=\frac{v}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } \left(\ 1+ \frac{v^2}{ 1 -\frac{v^2}{c^2}}
La variation d’énergie cinétique devient dT=m<sub>0</sub>dγ. En intégrant cette équation, on obtient
:<math>T=\left. m_{0}\gamma c^2\right. +constante</math>
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