« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.
 
== Rappels d'algèbre linéaire ==
 
{{Définition|titre=Rappels d'algèbre linéaire réelle|contenu=
}}
 
== Espace vectoriel symplectique ==
 
{{Définition|contenu=
 
{{Définition|contenu=
Si <math>(V_1,\omega_1)</math> et <math>(V_2,\omega_2)</math> sont deux espaces vectoriels symplectiques, une application linéaire <math>T:V_1\rightarrow V_2</math> est dite '''symplectique''' lorsque, pour tous ''v'' et ''w'' dans ''V''<sub>1</sub>, on a :
 
:<math>\omega_2(Tv,Tw)=\omega_1(v,w)</math>.
C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.
 
=== Classification ===
Rappelons le résultat suivant :
 
 
* Supposons le résultat démontré jusqu'à la dimension n-1.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''<sub>1</sub> de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''<sub>1</sub> tel que ''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''<sub>1</sub> en ''Y''<sub>1</sub>/''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>), on est en droit de supposer ''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>)=1. Les vecteurs ''X''<sub>1</sub> et ''Y''<sub>1</sub> sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
 
**L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
:''En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.''
 
=== Exemples ===
 
{{Exemple|titre=Exemple 2|contenu=
 
''Justification :'' Cette forme est clairement bilinéaire et antisymétrique. Pour la non dégénérescence, prenons un vecteur non nul <math>v_1</math>. Deux possibilités apparaissent :
* Soit l'impulsion ''p''<sub>1</sub> est non nul : on prend ''p''<sub>2</sub>=0 et <math>q_2</math> un vecteur de ''E'' qui n'est pas dans le noyau de ''p''<sub>1</sub>. Dans ce cas, <math>\omega_E(v_1,v_2)\neq 0</math>.
* Soit l'impulsion ''p''<sub>1</sub> est nulle, auquel cas ''q''<sub>1</sub> est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
}}
 
}}
 
== Structure complexe ==
 
En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur ''V'' muni d'une structure complexe.
}}
 
=== Sous-espaces d'un espace symplectique ===
 
{{Définition|contenu=
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=
 
Pour tous sous-espaces ''W''<sub>1</sub> et ''W''<sub>2</sub> d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
:* <math>W_1\subset W_2</math> ssi <math>W_1^o\supset W_2^o</math> ;
:* <math>(W_1\cap W_2)^o=W_1^o+W_2^o</math> et <math>(W_1+W_2)^o=W_1^o\cap W_2^o</math> ;
}}
 
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors <math>\omega</math> induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
 
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