« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.
== Rappels d'algèbre linéaire ==
{{Définition|titre=Rappels d'algèbre linéaire réelle|contenu=
Ligne 32 :
}}
== Espace vectoriel symplectique ==
{{Définition|contenu=
Ligne 45 :
{{Définition|contenu=
Si <math>(V_1,\omega_1)</math> et <math>(V_2,\omega_2)</math> sont deux espaces vectoriels symplectiques, une application linéaire <math>T:V_1\rightarrow V_2</math> est dite '''symplectique''' lorsque, pour tous ''v'' et ''w'' dans ''V''
:<math>\omega_2(Tv,Tw)=\omega_1(v,w)</math>.
Ligne 75 :
C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.
=== Classification ===
Rappelons le résultat suivant :
Ligne 92 :
* Supposons le résultat démontré jusqu'à la dimension n-1.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''
**L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
Ligne 111 :
:''En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.''
=== Exemples ===
{{Exemple|titre=Exemple 2|contenu=
Ligne 120 :
''Justification :'' Cette forme est clairement bilinéaire et antisymétrique. Pour la non dégénérescence, prenons un vecteur non nul <math>v_1</math>. Deux possibilités apparaissent :
* Soit l'impulsion ''p''
* Soit l'impulsion ''p''
}}
Ligne 147 :
}}
== Structure complexe ==
En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur ''V'' muni d'une structure complexe.
Ligne 210 :
}}
=== Sous-espaces d'un espace symplectique ===
{{Définition|contenu=
Ligne 221 :
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=
Pour tous sous-espaces ''W''
:* <math>W_1\subset W_2</math> ssi <math>W_1^o\supset W_2^o</math> ;
:* <math>(W_1\cap W_2)^o=W_1^o+W_2^o</math> et <math>(W_1+W_2)^o=W_1^o\cap W_2^o</math> ;
Ligne 248 :
}}
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors <math>\omega</math> induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
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