« Fondements des mathématiques/Preuve formelle de la cohérence de l'arithmétique formelle » : différence entre les versions

Il faut montrer que l’ensemble des axiomes de ''AF'' est inclus dans l’ensemble ''VAF'' des vérités du modèle ''VAF₀VAF₀''. Tous ces ensembles sont constructibles dans ''Finitaire 1''.

Les 13 axiomes de ''AF'' qui traduisent les 13 règles de production de ''VAF₀VAF₀'' sont évidemment vrais de ''VAF₀VAF₀''. Les moyens de preuve de ''Finitaire 1'' sont suffisants pour établir cette évidence. Quand on écrit une telle preuve formelle, on ne cherche qu’en apparence à prouver l’évidence. Mais ce qu’on fait en vérité c’est éprouver l’efficacité de la formalisation. Si les règles permettent de prouver des évidences, c’est un bon signe. Si elles ne le pouvaient pas, elles seraient très insuffisantes. En prouvant formellement des évidences on cherche à prouver la qualité de la formalisation mais pas les évidences que l’on prouve cependant.

La preuve suivante de la vérité de l’axiome ''AF1'' qui traduit la règle ''R₁'' de ''VAF₀VAF₀'' a une valeur générale. N’importe quel axiome qui traduit une règle de production d’un modèle est vrai pour ce modèle, et la preuve de ceci peut être formalisée dans ''Finitaire 1''.

La définition de ''VAF₁'' conduit à vouloir montrer que ou <code>a(r=)bxy</code> n’est pas dans ''VAF₀VAF₀'' ou <code>a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y</code> est dans ''VAF₀VAF₀'', pour tous x et y dans N.

:''VAF₀VAF₀'' =def Ensemble-somme de Ensemble induit par Prod à partir de Singleton de a(r=)boo

Supposons que <code>a(r=)bxy</code> soit dans ''VAF₀VAF₀''.

On en conclut que <code>a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y</code> est dans Im par Prod1 de w et donc dans ''VAF₀VAF₀''.

Cela termine cette preuve de la vérité de ''AF₁'' dans ''VAF₀VAF₀''. Toutes les étapes n’ont pas toujours été explicitées mais il s’agit à chaque fois de la même technique, expliciter les définitions des ensembles étudiés et déduire avec la logique du premier ordre et les axiomes de ''Finitaire 1'' les énoncés que l’on veut prouver. Toutes les étapes de ces preuves, longues à écrire mais rapides à trouver, sont également triviales. Elles consistent essentiellement à vérifier qu’on n’a pas oublié de mentionner toutes les règles évidentes dans les axiomes de ''Finitaire 1''.