« Introduction à l'élasticité/Relation fondamentale de la dynamique » : différence entre les versions

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Après avoir traduit les efforts intérieurs par le tenseur des contraintes, nous pouvons revenir sur l'expression de la relation fondamentale de la dynamique et exprimer l'accélération d'un point à partir des contraintes qu'il subit.
 
== Dynamique locale ==
== Bilan de quantité de mouvement ==
 
On s'intéresse, dans cette partie, à un petit volume ''v(t)'' que l'on suit dans son déplacement.
 
=== Bilan de quantité de mouvement ===
 
Nous avons montré que le bilan de quantité de mouvement sur un volume <math>v(t)</math> prenait la forme :
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d'après le théorème de flux-divergence (dit également de Stokes ou de Green-Stokes), où div<sub>'''x'''</sub> est l'opérateur divergence (vectoriel). Nous allons exprimer cette dernière intégrale de manière plus élégante en introduisant la notion de divergence d'un tenseur.
 
=== Divergence du tenseur des contraintes ===
 
Remarquons que la divergence est une application linéaire : nous allons lui associer un tenseur.
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{{Attention|Avec_fond=oui|Pour un repère qui n'est pas cartésien, l'expression de la divergence n'est pas aussi simple !}}
 
=== Expression de la relation fondamentale de la dynamique ===
 
On a, pour tout volume ''v(t)'' et tout vecteur '''u''', la relation suivante :
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En pratique, on peut être amené à supposer la forme de '''&sigma;''' pour effectuer les calculs, quitte à infirmer l'hypothèse faite si l'expérience est en désaccord trop marqué avec le modèle.
 
=== Symétrie du tenseur des contraintes ===
 
Il est important de remarquer qu'une conséquence de la relation fondamentale de la dynamique est qu'elle nous renseigne sur la symétrie du tenseur des contraintes.
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Ce résultat peut se démontrer de plusieurs manières, plus ou moins intuitives. Une démonstration est proposée en annexe et repose sur l'expression du transport du moment dynamique donnée dans un précédent chapitre.
 
== Dynamique matérielle ==
 
Lorsqu'un matériau subit de grand déplacements, on ne connaît pas en pratique la position de tous les volumes internes, susceptibles de beaucoup se déformer. Nous allons en fait nous ramener à un domaine fixe en exploitant le fait que la cinématique garde la trace des déformations subies par la pièce.
 
Cela nous permettra de traiter les propriétés d'une pièce dans son entier, basées sur celles, microscopiques, que nous avons détaillé, mais sans avoir à retourner à ce niveau de détail.
 
Nous verrons que, dans le cas de l'élasticité, nous serons amenés à ne pas tenir compte des déformations. Cependant, cette partie explique pourquoi cette approximation est légitime et, hors du cadre restrictif des solides élastiques, reste tout à fait générale. En première lecture, les deux sous-parties qui suivent peuvent être survolées.
 
=== Dynamique dans la configuration initiale ===
 
=== Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff ===
 
=== Dynamique locale infinitésimale ===
 
== Remarques et références ==