« Introduction à l'élasticité/Relation fondamentale de la dynamique » : différence entre les versions
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=== Dynamique dans la configuration initiale ===
Rappelons que, dans une intégrale, un changement de variables fait intervenir :
* la transformation (changement du domaine d'intégration) ;
* le jacobien de la transformation (noté ''J'' dans la suite).
Moyennant quelques calculs, on peut ainsi montrer que l'équation de la résultante dynamique appliquée à un volume ''v(t)'' qu'on suit dans son mouvement :
:<math>\int_{v\left(t\right)} \rho \mathbf a \, \mathrm d^3V = \int_{v\left(t\right)} \mathbf f_v \, \mathrm d^3V + \int_{\partial v\left(t\right)} \boldsymbol{\sigma} \left( \mathbf n_t \right) \, \mathrm d^2S</math>
est équivalente à la relation suivante (où les notations sont un peu abusives, pour rester simples), qui s'applique sur la configuration initiale :
:<math>\int_{v(0)} \rho \mathbf a J \, \mathrm d^3V = \int_{v(0)} \mathbf f_v J \, \mathrm d^3V + \int_{\partial v(0)} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf F ^{-\mathrm T} \left( \mathbf n_0 \right) J \, \mathrm d^2S</math>
On applique, ici encore, le théorème de Green-Stokes :
:<math>\rho_0 \mathbf a_{\mathbf p} = \mathbf f_v J + \mathbf{Div}_{\mathbf p} \left( J \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf F^{- \mathrm T}\right)</math>
Avec des notations plus rigoureuses, cette relation s'écrit :
:<math>\rho_0 ( \mathbf p ) \mathbf a_{\mathbf p} ( \mathbf p, t ) = \mathbf f_v ( f(\mathbf p, t), t) J(\mathbf p, t) + \mathbf{Div}_{\mathbf p} \left( J (\mathbf p, t) \boldsymbol{\sigma}(f(\mathbf p, t), t) \cdot \mathbf F^{- \mathrm T}\right)</math>
Dans la suite, nous allons introduire des notations simplificatrices qui nous permettront de mieux comprendre la situation.
=== Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff ===
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