« Introduction à l'élasticité/Relation fondamentale de la dynamique » : différence entre les versions

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Dans la suite, nous allons introduire des notations simplificatrices qui nous permettront de mieux comprendre la situation.
 
=== TenseurTenseurs des contraintes de Piola-Kirchhoff ===
 
{{Définition|titre=Premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff|contenu=
Le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff est défini, ''sur la configuration initiale'', par :
 
:<math>\boldsymbol{\pi} = J\, \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf F^{-\mathrm T}</math>
}}
 
Une propriété importante de ce tenseur, c'est qu'il met en relation les efforts sur une facette à tout instant et ceux subit par la facette dans la configuration initiale :
 
:<math>\boldsymbol{\pi} \left( \mathbf n_0 \right) \, \mathrm d^2S_0 = \boldsymbol{\sigma} \left( \mathbf n_t \right) \, \mathrm d^2S_t</math>
 
Par sa définition, on voit également que '''&pi;''' n'est, dans le cas général, pas symétrique. On préfère alors souvent utiliser le tenseur suivant :
 
{{Définition|titre=Second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff|contenu=
Le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff est le tenseur '''s''' défini par :
 
:<math>\mathbf s = \mathbf F^{-1} \cdot \boldsymbol{\sigma}</math>
 
On vérifie que ce tenseur est symétrique.
}}
 
Ce tenseur, comme le précédent, permet de suivre les efforts intérieurs transportés par la déformation, à partir de la configuration initiale. On aboutit ainsi à la relation fondamentale de la dynamique :
 
{{Propriété|titre=Relation fondamentale de la dynamique dans la configuration initiale|contenu=
:<math>\rho_0 \mathbf a_{\mathbf p} = \mathbf f_v J + \mathbf{Div}_{\mathbf p} \left( \mathbf F \cdot \mathbf s\right)</math>
}}
 
On remarque la présence de '''F''', qui est un terme géométrique, dans cette équation. Cela est lié au fait que l'équation obtenue à la section précédente est obtenue en suivant le volume (on parle d'une description ''spatiale'' ou ''lagrangienne'') alors que nous avons ici considéré les déformations en conservant un point de vue fixe (on parle d'une description ''matérielle'' ou ''eulérienne'').
 
Pour des structures élancées, ces termes géométriques ont une grande influence sur la dynamique. Jusqu'ici, la description faite de la dynamique est tout à fait générale : dans la section qui suit, nous faisons les hypothèses de l'élasticité et observons comment cela simplifie grandement le problème.
 
=== Dynamique locale infinitésimale ===