« Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| titre = Suites arithmétiques | idfaculté = mathématiques | leçon = [[Suite numérique]] | numero = 2
| niveau = 11
| précédent = [[../Définitions/]]
| suivant = [[../Suites géométriques/]]
}}
== Définition par récurrence ==
{{Définition
Une suite arithmétique est donc définie par :
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* une relation de récurrence de la forme : <center><math>u_{n+1}=u_n+r\,</math></center>
Le nombre ''r'' qui permet de passer d'un terme au suivant s'appelle la '''raison''' de la suite (u<sub>n</sub>).
}} === Exercices d'application ===
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* ''5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, ...''
{{Solution
| contenu = *La première suite est de raison 2.
*La seconde n'est pas arithmétique car il n'y a pas de raison qui permet de la définir : 5 - 2 = 3 et 7 - 5 = 2.
*La troisième suite est arithmétique de raison 5.
*La quatrième suite n'est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
*Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans <math>\mathbb R</math>)
}} == Terme général d'une suite arithmétique ==
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Pour arriver à u<sub>n</sub>, il faut ajouter ''n'' fois la raison ''r'' au premier terme u₀
| contenu = Le terme général d'une suite arithmétique (u<sub>n</sub>) est donné par la formule : <center><math>u_n=u_0+n\times r</math></center>
}} === Utilisation du terme général ===
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#Soit <math>(t_n)\,</math> une suite arithmétique telle que <math>t_{11}=25\,</math> et <math>u_4 = 6\,</math>. Calculer <math>t_0\,</math> et <math>r\,</math>.
{{Solution
| contenu = #<math>u_{11} = -3 + 11\times3,5 = 35,5\,</math>
#<math>v_{25} = 24 + -6\times25 = -126\,</math>
#<math>w_{10} = 2 - 6,25 + 6,25\times10 = 58,25\,</math>
#<math>s_0= 2 - 15 \times 6 = -88\,</math>
#<math>t_{11}=t_4+7r\,</math> donc <math>r=\frac{t_{11}-t_4}7=\frac{19}7</math>. De plus, <math>t_0=t_4-4r=6-4\frac{19}7=-\frac{34}7</math>.
}} == Somme des termes d'une suite arithmétique ==
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=== Généralisation ===
| contenu = La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :
<center><math>u_0+u_1+\cdots+u_n={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)</math></center>
}} La somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la '''demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des termes''' de la suite.
Ligne 82 ⟶ 99 :
*<math>S=7+9+11+13+\ldots+99=\ldots</math>
{{Solution
| contenu = *On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=1
**131=u<sub>65</sub>
Ligne 89 ⟶ 107 :
*On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=7
**99=u<sub>46</sub>
**L'application de la formule donne alors <math>S=7+9+\ldots+99=\frac{46+1}2(7+99)=2491</math>
}} == Sens de variation ==
{{Théorème
| contenu = Une suite arithmétique de raison ''r'' est : *croissante si <math>r>0</math>
*décroissante si <math>r<0</math>
*constante si <math>r=0</math>.
}} Ligne 106 ⟶ 126 :
si on définit la fonction affine <math>\scriptstyle{f(x)=r\times x+u_0}</math>, alors <math>u_n=f(n)</math>.
| contenu = Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison ''r'',
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les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :
<center><math>f(x)=r\times x+u_0</math></center>
}} Si u<math>n</math> = a + bn , alors (u<math>n</math>) est une suite arithmétique de '''raison b''' et de '''premier terme a'''.
Ligne 123 ⟶ 144 :
{{
| contenu =
*L'expression explicite des termes de cette suite est pour tout <math>n\in\mathbb N,~u_n=-3+3.5n</math>.
*Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation <math>y=3.5x-3\,</math>
}} {{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Suite numérique]]
| précédent = [[../|Sommaire]]
| suivant = [[../Suites géométriques/]]
}}
[[Catégorie:Suite numérique]]
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