« Introduction à l'élasticité/La loi de Hooke » : différence entre les versions

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== Élasticité infinitésimale ==
 
Nous allons maintenant tenter de rendre compte, mathématiquement, de ce qui se passe pour de petites déformations.
 
Nous avons observé que, lorsque le matériau était peu déformé, les contraintes étaient proportionnelles aux déformations. Cette relation s'exprime ainsi de la manière suivante :
 
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \mathbf C \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)</math>
 
où '''C''' est un tenseur<ref>Ce tenseur est d'ordre 4.</ref> appelé tenseur d'élasticité, qui traduit la linéarité de cette relation. On montre, par symétrie de '''&sigma;''' et de '''&epsilon;''', que ce tenseur (qui dans l'absolu pourrait dépendre de 81 coefficients) est en fait décrit par 21 nombres.
 
Si aucun de ces nombres n'est nul, l'élasticité est totalement anisotrope, et relativement complexe à décrire. Nous allons nous intéresser au cas ''isotrope'', le plus utilisé en pratique.
 
=== Élasticité isotrope : loi de Hooke ===
 
Si le matériau est isotrope, son comportement ne dépend pas de la rotation qu'il a subi : on peut donc écrire la loi de comportement uniquement à partir des invariants de '''&epsilon;'''<ref>C'est une conséquence du théorème de représentation de Rivlin-Ericksen.</ref> :
=== Limite d'élasticité ===
 
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \lambda_0 \mathbf I + \lambda_1 \boldsymbol{\varepsilon} + \lambda_2 \boldsymbol{\varepsilon}^2 </math>
 
Nous ne considérons, pour de petites déformations, que les termes linéaires en '''&epsilon;''' : ce tenseur lui-même et sa trace (qui est le seul invariant du premier ordre). On a alors l'équation suivante, dite de ''souplesse'' :
 
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \lambda \mathrm{Tr}\left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I + 2 \mu \boldsymbol{\varepsilon} </math>
 
où ''&lambda;'' et ''&mu;'' sont deux coefficients réels appelés '''coefficients de Lamé''' du matériau. Il est remarquable que la relation entre ces deux tenseurs n'implique que deux nombres (au lieu de 21, dans le cas général).
 
On peut inverser la relation ci-dessus :
 
{{Définition|titre=Loi de Hooke de l'élasticité|contenu=
Dans le cadre de l'élasticité linéaire isotrope infinitésimale,
 
:<math> \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2\mu} \boldsymbol{\sigma} - \frac{\lambda}{2\mu \left( 3 \lambda + 2 \mu \right)} \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\sigma} \right) \mathbf I</math>
 
où ''&lambda;'' et ''&mu;'' sont les coefficients de Lamé. On introduit le '''module d'Young''' ''E'' et le '''coefficient de Poisson''' ''&nu;'' :
 
:<math> \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1 + \nu}{E} \boldsymbol{\sigma} - \frac{\nu}{E} \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\sigma} \right) \mathbf I</math>
}}
 
Notons que l'on peut utiliser indifféremment les coefficients de Lamé ou le module d'Young et le coefficient de Poisson. Ces deux derniers ont toutefois une interprétation simple. Considérons pour l'illustrer le cas d'une traction simple. Notons ''L<sub>0</sub>'' la longueur de la pièce au début de l'expérience et ''l<sub>0</sub>'' sa largeur. On a :
 
*<math>E = \frac{F}{S} \cdot \frac{L - L_0}{L_0}</math>
*<math>\nu = - \frac{l - l_0}{l_0} \cdot \frac{L - L_0}{L}</math>
 
Ainsi, ''E'' traduit a tendance à l'allongement et ''&nu;'' exprime la tendance au rétrécissement lorsque la pièce s'allonge. Pour des raisons physiques, le coefficient ''&nu;'' ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs.
 
Enfin, notons que ''E'' s'exprime en Pa (souvent en MPa) et que ''&nu;'' est sans unité (et souvent proche de 1/3).
 
=== Remarque historique ===
 
La loi de Hooke fut énoncée en 1678, sous la forme suivante : « ''ut tensio sic vis'' » (telle extension, telle force). On vérifie en effet que dans le cas le plus simple d'un barreau subissant une élongation faible, il exerce une force de retour de la forme :
 
:<math>F = -k l\,</math>
 
où ''l'' est l'allongement. Ce résultat, bien connu, est une conséquence de ce que nous avons vu sur l'élasticité. On le retrouve dans le cas d'une traction simple, et nous sommes capables d'exprimer le coefficient ''k'' à partir des propriétés du matériau.
 
== Élasticité linéaire infinitésimale ==