« Introduction à l'élasticité/La loi de Hooke » : différence entre les versions
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== Élasticité linéaire infinitésimale ==
Après avoir déterminé le cadre de l'élasticité en terme de contraintes et déformations, nous allons rentrer dans plus de détails concernant les conséquences de ce modèle, et comment cela permet de résoudre des problèmes concrets.
=== Équations de Navier ===
On considère dans cette partie un solide élastique. On suppose connues aux bords les conditions extérieures :
* les déplacements, s'ils sont disponibles ;
* les contraintes (forces de surface).
On peut remarquer qu'il n'est pas possible de disposer ''a priori'' de ces deux informations en un même point.
Les conditions initiales sont :
:<math>\mathbf u \left( \mathbf x, t = 0 \right) = \mathbf u_0 \left( \mathbf x \right)</math>
:<math>\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} \left( \mathbf x, t = 0 \right) = \mathbf v_0 \left( \mathbf x \right)</math>
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \mathbf 0</math>
Rappelons la relation fondamentale de la dynamique vérifiée en tout point du solide :
:<math>\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial t^2}= \mathbf f_v + \mathbf{Div}_{\mathbf x} \boldsymbol{\sigma}</math>
Et d'autre part, la loi de Hooke :
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \lambda \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I + 2 \mu \boldsymbol{\varepsilon}</math>
Développons le terme de divergence :
:<math>
\begin{align}
\mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \boldsymbol{\sigma} \right) & = \mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \lambda \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I + 2 \mu \boldsymbol{\varepsilon} \right) \\
& = \lambda \mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I \right) + 2 \mu \mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \\
& = \lambda \mathbf{grad}_{\mathbf x} \left( \mathrm{Tr} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \right) + 2 \mu \frac12 \left( \mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \mathbf{D_xu} \right) + \mathbf{Div}_{\mathbf x} \left( \mathbf{D_xu}^{\mathrm T} \right) \right) \\
& = \lambda \mathbf{grad}_{\mathbf x} \left( \mathrm{div}_{\mathbf x} \mathbf u \right) + \mu \left( \Delta_{\mathbf x}\mathbf u + \mathbf{grad}_{\mathbf x} \left( \mathrm{div}_{\mathbf x} \mathbf u \right) \right) \\
& = \left( \lambda + \mu \right) \mathbf{grad}_{\mathbf x} \left( \mathrm{div}_{\mathbf x} \mathbf u \right) + \mu \Delta_{\mathbf x}\mathbf u \\
\end{align}
</math>
Le passage de la 3<sup>e</sup> à la 4<sup>e</sup> ligne se fait en remarquant les deux points suivants :
* la trace du tenseur des déformations égale la divergence du déplacement (c'est la dilatation) ;
* la divergence du gradient de '''u''' est son laplacien, noté Δ'''u'''.
On obtient ainsi l'équation suivante :
{{Définition|titre=Équation de Navier de l'élasticité linéaire isotrope pour un matériau homogène|contenu=
Lorsque les coefficients de Lamé sont constants, on a :
:<math>\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial t^2} = \left( \lambda + \mu \right) \mathbf{grad}_{\mathbf x} \left( \mathrm{div}_{\mathbf x} \mathbf u \right) + \mu \Delta_{\mathbf x}\mathbf u + \mathbf f_v</math>
}}
On peut noter que la structure de cette équation est proche de celle d'une équation d'onde, car elle relie les dérivées secondes spatiale et temporelle. En effet, l'équation de Navier exprime la propagation des déformations dans le matériau.
Dans le cas statique, où la dérivée temporelle s'annule, elle exprime la structure que doivent adopter les déplacements au sein du matériau pour assurer l'équilibre.
=== Propriétés de l'équation de Navier ===
Il est intéressant de connaître certaines propriétés de l'équation de Navier, qui facilitent sa résolution et son interprétation :
* on peut montrer qu'il y a unicité de la solution au problème ;
* il s'agit d'une équation de propagation ;
* il s'agit d'une équation linéaire.
Ce dernier point permet d'exploiter les symétries du problème et d'utiliser le principe de superposition pour le résoudre. Il est ainsi possible de ne travailler que sur une partie de la pièce, ce qui réduit potentiellement le nombre de degrés de libertés et de calculs.
=== Principe de Saint-Venant ===
Le principe de Saint-Venant est utile en pratique, puisqu'il permet d'estimer les contraintes et les déplacements qui résultent d'un effort dont on ne connaît pas le détail. On peut le rapprocher, de manière simplifiée, de l'approximation dipolaire fait en électromagnétisme.
{{Principe|titre=Principe de Saint-Venant|contenu=
Pour un matériau linéaire, élastique et homogène, les déplacement et contraintes associées à un chargement ne dépendent ''loi des sources'' que de sa résultante et de son moment.
}}
== Élasticité plane ==
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