« Introduction à l'élasticité/La loi de Hooke » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 223 :
== Élasticité plane ==
Bien que la plupart des problèmes soient tridimensionnels, on peut parfois faire l'approximation plane — ou s'y référer comme un cas plus simple à poser ou à résoudre. L'élasticité plane se révèle utile pour des pièces dont une dimension est très petite devant les deux autres (feuilles, tissus…), ou bien que cette dimension est « infinie » comparée aux deux autres (tours, prismes…) — si bien que l'on ne se préoccupe pas de ce qui se passe suivant cet axe. On considérera donc un repère bidimensionnel <math>(\mathbf e_1, \mathbf e_2)</math>.
=== Contraintes planes ===
On suppose que les contraintes sont planes, c'est-à-dire exercée suivant les deux « grandes » dimensions de la pièce. Le tenseur des contraintes ne dépend donc ''a priori'' pas de la troisième dimension, et s'écrit :
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sigma_{i,j} \left( \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \right)</math>
les autres composantes étant nulles. On sait également que '''σ'''('''e'''<sub>3</sub>) s'annule aux bord — on suppose que c'est le cas dans toute l'épaisseur. La loi de Hooke donne alors les déformations :
:<math>\varepsilon_{1,1} = \left( \sigma_{1,1} - \nu \sigma_{2,2}\right) / E</math>
:<math>\varepsilon_{2,2} = \left( \sigma_{2, 2} - \nu \sigma_{1,1 }\right) / E</math>
:<math>\varepsilon_{1,2} = \frac{1 + \nu}{E} \sigma_{1,2}</math>
{{Attention|La composante ''ε''<sub>3,3</sub> n'est pas nulle !}}
En effet, on a :
:<math>\varepsilon_{3,3} = - \frac{\nu}{E} \left( \sigma_{1,1} + \sigma_{2,2} \right)</math>
Pourquoi ? Simplement parce qu'un matériau étiré s'amincit — ce qu'exprime le coefficient ''ν''.
On peut également s'intéresser à la compatibilité des contraintes, c'est-à-dire la question de savoir si le champ de contraintes planes que l'on a est physiquement réalisable. Pour cela, il doit vérifier les équations de Beltrami en contraintes planes :
:<math>\Delta \left( \sigma_{1,1} + \sigma_{2,2} \right) = 0</math>
:<math>\frac{\partial \sigma_{1,1}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{1,2}}{\partial x_2} + f_{v,1} = 0</math>
:<math>\frac{\partial \sigma_{1,2}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{2,2}}{\partial x_2} + f_{v,2} = 0</math>
=== Fonctions d'Airy ===
Lorsque les forces volumiques sont constantes, on peut introduire une fonction d'Airy Φ qui permet de résoudre le problème. L'idée, comme en électromagnétisme, est d'introduire l'équivalent d'un potentiel qui vérifie ''nécessairement'' les équations de structure (ici, de compatibilité).
En effet, la première équation de Beltrami :
:<math>\frac{\partial \sigma_{1,1}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{1,2}}{\partial x_2} + f_{v,1} = 0</math>
est vérifiée si on introduit une fonction Ψ<sub>1</sub> telle que :
:<math>\sigma_{1,2} = -\frac{\partial \Psi_1}{\partial x_1}</math>
:<math>\sigma_{1,1} = \frac{\partial \Psi_1}{\partial x_2} - x_1 f_{v,1}</math>
De même, on peut introduire Ψ<sub>2</sub> telle que :
:<math>\sigma_{1,2} = -\frac{\partial \Psi_2}{\partial x_2}</math>
:<math>\sigma_{2,2} = \frac{\partial \Psi_2}{\partial x_1} - x_2 f_{v,2}</math>
Enfin, on peut exploiter la symétrie du tenseur de Cauchy et définir une fonction Φ telle que :
:<math>\Psi_1 = \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}</math>
:<math>\Psi_2 = \frac{\partial \Phi}{\partial x_2}</math>
Par construction, Φ vérifie les équations de Beltrami, et sa connaissance entraîne celle des contraintes et, par la loi de Hooke, des déplacements.
Enfin, l'équation de compatibilité s'écrit :
:<math> 0 = \Delta \left( \sigma_{1,1} + \sigma_{2,2} \right) = \Delta^2 \Phi</math>
On dit que la fonction Φ est biharmonique : on connaît des fonctions de ce type (par exemple des polynômes) ce qui permet de rechercher des solutions d'une forme donnée.
=== Déformations planes ===
On considère maintenant que l'on ignore les contraintes, mais que les déplacements se font dans le plan. Le tenseur des déformations s'écrit alors :
:<math>\boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \varepsilon_{i,j} \left( \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \right)</math>
et en inversant la loi de Hooke, on accède aux composantes de '''σ''' :
:<math>\sigma_{1,1} = \left( \lambda + 2 \mu \right) \varepsilon_{1,1} + \lambda \varepsilon_{2,2} </math>
:<math>\sigma_{2,2} = \left( \lambda + 2 \mu \right) \varepsilon_{2,2} + \lambda \varepsilon_{1,1} </math>
:<math>\sigma_{1,2} = 2 \mu \varepsilon_{1,2}</math>
{{Attention|La composante ''σ''<sub>3,3</sub> n'est pas nulle en général ! }}
On aura :
:<math>\sigma_{3,3} = \lambda\left( \varepsilon_{1,1} + \varepsilon_{2,2} \right)</math>
== Concentration de contraintes ==
| |||