« Introduction à l'élasticité/Notions d'algèbre tensorielle » : différence entre les versions
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=== Propriétés d'un tenseur symétrique ===
Par définition, un tenseur est symétrique lorsqu'il égale sa transposée (son tenseur adjoint) :
:<math>\mathbf A = \mathbf A^{\mathrm T}</math>
Les tenseurs symétriques ont des propriétés particulièrement utiles, ce qui fait que l'on essaiera de « rendre » nos tenseurs symétriques tant que possible. Parmi les points qui nous seront les plus utiles :
;Popriétés liées au produit scalaire :
* en notant (·,·) le produit scalaire, on a (Ax, y) = (x, Ay) pour tous vecteurs et y et tout tenseur A symétrique.
;Propriétés liées à la représentation :
* la représentation d'un tenseur symétrique, dans toute base orthonormée, est une matrice symétrique ;
* dans l'espace usuel, il suffit de 6 scalaires pour décrire un tenseur symétrique (au lieu de 9 dans le cas général).
;Propriétés liées à la diagonalisation :
* tout tenseur symétrique est diagonalisable, au moyen d'un tenseur orthogonal (une rotation) ;
* les vecteurs propres d'un tenseur symétrique forment une base orthogonale (que l'on peut orthonormer) de l'espace ;
* les valeurs propres d'un tenseur symétrique sont réelles.
;Propriétés liées aux opérations :
* la somme, la différence et la multiplication par un scalaire laisse un tenseur symétrique ;
* le produit de deux tenseurs symétriques n'est lui-même symétrique que si ces tenseurs commutent ;
* l'inverse d'un tenseur symétrique est symétrique.
== Produit tensoriel de deux vecteurs==
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