« Utilisateur:Sharayanan/tmp » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m +d'exos |
|||
Ligne 1 :
==Chapitre 2 ==
=== Exercice : formes et applications linéaires===
==== Énoncé ====
Dans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace <math>\left(\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z \right)</math>.
Ligne 15 :
::<math>\left( \mathbf e_1 = \frac{1}{\sqrt 5} \mathbf v, \mathbf e_2 = \frac{1}{\sqrt 5} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \right)</math>
==== Correction ====
1. Il s'agit du vecteur unitaire <math>\mathbf e_x</math>. On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en ''x'' de ce dernier.
2. De même, il s'agit respectivement de <math>\mathbf e_y</math> et de <math>\mathbf e_z</math>.
3. Le tenseur identité, dans la base orthonormée, a la forme suivante :
::<math>\mathbf 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
:Puisqu'on a par ailleurs la relation de fermeture :
::<math>\mathbf 1 = \sum_{i = x, y, z} \left( \mathbf e_i \otimes \mathbf e_i \right)</math>
:on peut interpréter ce tenseur comme l'application qui associe à tout vecteur un vecteur dont les coordonnées sont identiques :
::<math>\mathbf 1 \left( \mathbf u \right) = \mathbf 1 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf e_x \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_y \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_z \cdot \mathbf u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathbf u</math>
1. Soit deux vecteurs '''a''' et '''b''', et un scalaire ''λ''. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :
::<math>
\begin{align}
f \left( \mathbf a + \lambda \mathbf b \right) & = \mathbf v \times \left( \mathbf a + \lambda \mathbf b \right) \\
& = \mathbf v \times \mathbf a + \mathbf v \times \left( \lambda \mathbf b \right) \\
& = \mathbf v \times \mathbf a + \lambda \mathbf v \times \mathbf b \\
& = f \left( \mathbf a \right) + \lambda f \left( \mathbf v \right)
\end{align}
</math>
:Ce qui montre que l'application ''ƒ'' est linéaire.
2. Les coordonnées de '''F''' sont :
::<math>
\begin{align}
F_{i,j} & = \mathbf e_i \cdot \mathbf F \left( \mathbf e_j \right) \\
& = \mathbf e_i \cdot f \left( \mathbf e_j \right) \\
& = \left( \mathbf v \times \mathbf e_j \right) \cdot \mathbf e_i \\
& = \left( \mathbf e_i \times \mathbf v \right) \cdot \mathbf e_j \\
& = \left( \mathbf e_j \times \mathbf e_i \right) \cdot \mathbf v
\end{align}
</math>
:On peut déjà remarquer, par les propriétés du produit vectoriel, que <math>F_{i,j} = - F_{j,i}</math>, c'est-à-dire que '''F''' est anti-symétrique. Aussi, nous pourrons nous contenter de ne calculer que ses trois composantes indépendantes, les autres s'en déduisant :
::<math>F_{y,x} = \left( \mathbf e_x \times \mathbf e_y \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_z \cdot \mathbf v = - 2</math>
::<math>F_{z,y} = \left( \mathbf e_y \times \mathbf e_z \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_x \cdot \mathbf v = 1</math>
::<math>F_{z,x} = \left( \mathbf e_x \times \mathbf e_z \right) \cdot \mathbf v = - \mathbf e_y \cdot \mathbf v = 0</math>
:Ainsi, dans cette base, '''F''' est représenté par la matrice suivante, que l'on note également '''F''' par abus de notations :
::<math> \mathbf F =
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
3. On a les propriétés suivantes :
* '''F''' est anti-symétrique (a) ;
* Sa trace est nulle (conséquence de (a)) ;
* '''F'''('''v''') = '''0''' (b) ;
* '''F''' est de rang 2 ;
* Le déterminant de '''F''' est nul (conséquence de (b), puisque '''v''' ne l'est pas) ;
* Le polynôme caractéristique de '''F''' est <math>\chi = x^3 + 5x</math>
* '''F''' possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres complexes conjuguées (<math>\pm i\sqrt 5</math>) ;
* Le noyau de '''F''' est la droite dirigée par '''v'''.
…
=== Exercice : produit tensoriel ===
=== Exercice : décompositions d'un tenseur ===
| |||