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m →Exercice : formes et applications linéaires : fin de correction |
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Ligne 4 :
Dans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace <math>\left(\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z \right)</math>.
===== Partie 1 =====
# Trouver le vecteur traduisant par son produit scalaire l'application qui à un vecteur de l'espace associe sa coordonnée selon l'axe ''x''.
# Faire de même avec les applications qui à un vecteur associent leur coordonnée suivant ''y'' et ''z''.
# Représenter le tenseur identité, expliquer le lien avec les deux questions précédentes.
===== Partie 2 =====
# Soit le vecteur '''v''' de coordonnées (1, 0, -2). Montrer que l'application ''ƒ''('''u''') = '''v''' × '''u''' est linéaire.
# Trouver le tenseur '''F''' qui représente l'application ''ƒ''.
Ligne 18 ⟶ 19 :
==== Correction ====
===== Partie 1 =====
1. Il s'agit du vecteur unitaire <math>\mathbf e_x</math>. On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en ''x'' de ce dernier.
Ligne 34 ⟶ 36 :
::<math>\mathbf 1 \left( \mathbf u \right) = \mathbf 1 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf e_x \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_y \cdot \mathbf u \\ \mathbf e_z \cdot \mathbf u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathbf u</math>
===== Partie 2 =====
1. Soit deux vecteurs '''a''' et '''b''', et un scalaire ''λ''. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :
::<math>
Ligne 83 ⟶ 85 :
* Le noyau de '''F''' est la droite dirigée par '''v'''.
…
4. De même qu'en 2, on accède aux trois coordonnées de '''F''' dans cette nouvelle base
::<math>F_{2,1} = \left( \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_3 \cdot \mathbf v = 0</math>
::<math>F_{3,2} = \left( \mathbf e_2 \times \mathbf e_3 \right) \cdot \mathbf v = \mathbf e_1 \cdot \mathbf v = \sqrt 5</math>
::<math>F_{3,1} = \left( \mathbf e_1 \times \mathbf e_3 \right) \cdot \mathbf v = - \mathbf e_2 \cdot \mathbf v = 0</math>
:Ainsi, dans cette base, '''F''' est représentée de la manière suivante :
::<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\sqrt 5 \\
0 & \sqrt 5 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
:Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autre, diagonale par blocs) de la représentation de '''F''' dans cette base. En particulier, dans cette base, '''F²''' est diagonale.
=== Exercice : produit tensoriel ===
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