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m →Exercice : formes et applications linéaires : fin de correction |
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Ligne 103 :
:Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autre, diagonale par blocs) de la représentation de '''F''' dans cette base. En particulier, dans cette base, '''F²''' est diagonale.
=== Exercice : rotation du repère ===
==== Énoncé ====
Soit '''T''' un tenseur. Soit une base ''B<sub>0</sub>''.
On considère la base ''B<sub>1</sub>'', rotation de ''B<sub>0</sub>''. On représente la rotation associée par un tenseur orthogonal '''Ω'''.
# Rappeler la définition d'un tenseur orthogonal.
# Exprimer les vecteurs '''v'''<sub>''i''</sub> de ''B<sub>1</sub>'' à partir des vecteurs '''b'''<sub>''i''</sub> de ''B<sub>0</sub>''.
# Exprimer la ''matrice'' '''T'''<sub>1</sub> qui représente '''T''' dans ''B<sub>1</sub>'' à partir de la ''matrice'' '''T'''<sub>0</sub> qui le représente dans ''B<sub>0</sub>''.
==== Correction ====
# <math>\boldsymbol{\Omega} \cdot \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T} = \mathbf 1</math>
# <math>\forall i = 1, 2, 3, \quad \mathbf v_i = \boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf b_i\right)</math>
# Dans la première base, pour tout vecteur '''b'''<sub>0</sub>,
::<math>\mathbf c_0 = \mathbf T_0 \left( \mathbf b \right)</math>
:Dans la seconde base, on a :
::<math>\mathbf c_1 = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)</math>
:Donc, d'après 2, on a :
::<math>\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf c_1 \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)</math>
:C'est encore à dire :
::<math>\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf T_0 \left( \mathbf b_0 \right) \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)</math>
:Et enfin, en utilisant 2 et 1 pour inverser 2 :
::<math>\boldsymbol{\Omega} \left( \mathbf T_0 \left( \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T} \left( \mathbf b_1 \right) \right) \right) = \mathbf T_1 \left( \mathbf b_1 \right)</math>
:Ceci étant vrai pour tout vecteur '''b'''<sub>0</sub>, il s'ensuit l'égalité suivante :
::<math>\mathbf T_1 = \boldsymbol{\Omega} \cdot \mathbf T_0 \cdot \boldsymbol{\Omega}^{\mathrm T}</math>
=== Exercice : produit tensoriel ===
=== Exercice : décompositions d'un tenseur ===
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