« Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions

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3°Conclure.
 
 
==Exercice 2==
 
Soit ''f'' une fonction définie et continue sur <math>[0;+\infty[</math>
 
dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes):
 
{| border="1" width="250"
|'''x'''
|
{| border="0"
| width="50"|<math>0\,</math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>+\infty\,</math>
|}
|-----
 
| '''''f(x)'''''
|
{| border="0"
|width="50"|<math>2\,</math>
|width="100" align="center"|
|width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="100" align="center"|<math>\searrow </math>
| width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="100" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>0\,</math>
|}
|}
 
'''a)''' Soit ''n'' un entier naturel strictement supérieur à 1.
 
Démontrer qu'il existe un réel <math>x_1</math> de <math>[0;+\infty[</math> tel que :
 
pour tout <math>x \geq x_1\,</math> , on ait <math>f(x)<\frac{1}{n}</math>.
 
'''b)''' Démontrer en utilisant a) que pour tout entier naturel ''n'' strictement supérieur à 1,
 
l'équation <math>f(x)=\frac{1}{n}</math>
 
admet une solution unique sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
'''c)''' Démontrer que ''f'' ne s'annule pas sur <math>[0;+\infty[</math>
 
en utilisant d'une part les variations de ''f'' et d'autre part sa limite en <math>+\infty</math>.
 
[[Catégorie:Continuité et variations]]