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}}
Si <math>\lim_{x \to a}f(x) = b</math> et si <math>\lim_{y \to b}g(y) = c</math> alors <math>\lim_{x \to a}(g \circ f)(x) = c</math>
== Exemple ==
{{exemple|contenu=Soit <math>f:x \mapsto \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}</math>.
#Déterminer l'ensemble de définition de ''f''.
#Quelles sont les limites de ''f'' aux bords de son domaine de définition ?}}
===Question 1 : Domaine de définition de ''f''===
:Soit <math>x\in\R</math>
:<math>-3x^2+5x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac13 \mbox{ ou } x=2</math><br />
{{cadre simple|contenu=Le domaine de définition de ''f'' est <math>\mathcal{D}_f= \mathbb{R}- \left\{-\frac 13;2 \right\}</math>}}
===Question 2 : Étude des limites de ''f'' aux bords de son domaine de définition===
:Nous allons étudier la limite de ''f'' aux infinis, en <math>-\frac{1}{3}</math> et en 2.
====Étude en +∞ et en -∞====
Soit <math>x\in\mathcal{D}_f</math>
On met en facteur les termes de plus haut degré : <math>\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=\frac{x^2\left(1-\frac3x+\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(-3+\frac5x+\frac2{x^2}\right)}=\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}</math>
:<math>\lim_{x \to +\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math>
:<math>\lim_{x \to +\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>
:Donc <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}=-\frac13</math>, c'est-à-dire
{{cadre simple|contenu=<math>\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>}}
:De même, <math>\lim_{x \to -\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math> et <math>\lim_{x \to -\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>}}
====Étude en 1/3====
On pose les deux fonctions suivantes sur <math>\mathcal D_f</math>:
*<math>N:x\mapsto x^2-3x+2</math>
*<math>D:x\mapsto -3x^2+5x+2</math>
On a ainsi pour tout <math>x\in\mathcal D_f,~f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}</math>
*<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}9</math>
*<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=D \left( -\frac{1}{3} \right)=0</math>
On a devant nous une limite de la forme <math>\frac{l\not=0}0</math>. Il faut donc connaître le signe de ''f'' pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de ''N'' et ''D'' aux alentours de <math>\frac13</math>.
*<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}</math> donc ''N'' est positive au voisinage de <math>x=-\frac13</math>
*La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :
:<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-\infty&&-\frac13&&2&&+\infty\\
\hline
\textrm{Signe~de}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\
\hline
\end{array}
</math>
Nous pouvons à présent dire que :
*'''pour <math>x<-\frac{1}{3}</math>'''
::<math>D(x)<0\,</math> et <math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math>
{{cadre simple|contenu=Ainsi <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = -\infty</math>}}
*pour <math>x \in \left]-\frac{1}{3};2 \right[</math>
::<math>D(x)>0\,</math> et <math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math>
{{cadre simple|contenu=Ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}</math>}}
====Étude en 2====
*<math>\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0</math>
*<math>\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0</math>
Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « <math>\frac00</math> ».
Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme <math>N(2)=0\,</math> et <math>D(2)=0\,</math> et que ''N'' et ''D'' sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par ''x''-2.
Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.
*'''Utilisation des relations coefficients-racines''' ([[Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|20px]]voir le [[Équations et fonctions de second degré/Somme et produit des racines|cours sur les équations du second degré]])
::On sait qu'une racine de ''N'' est 2 et que le produit des racines vaut <math>\frac ca=2</math>.
::On en déduit que pour tout <math>x\in\mathcal D_f,N(x)=(x-1)(x-2)</math>
*'''Poser α la racine de ''N'' que l'on ne connaît pas et déduire α par identification de <math>x^2-3x+2\,</math> et de <math>(x-2)(x-\alpha)=x^2-(\alpha+2)x+2\alpha\,</math>
*'''Trouver les racines par calcul du discriminant etc''', ici DÉCONSEILLÉ par induit beaucoup de calcul pour retomber un résultat que l'on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c'est une perte de temps.
La question 1 nous apprend directement que pour tout <math>x\in\mathcal D_f,~D(x)=-3(x-2)\left(x+\frac13\right)</math>
Finalement, soit <math>x\in\mathcal D_f</math>
:<math>\begin{align}
f(x)&=\frac{N(x)}{D(x)}\\
&=\frac{(x-1)(x-2)}{-3(x-2)\left(x+\frac13\right)}\\
&=\frac{x-1}{-3x-1}
\end{align}</math>
On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu'à écrire la limite :
:<math>\lim_{x \to 2} f(x)=\frac{2-1}{-3\times2-1}</math>
{{cadre simple|contenu=Finalement :<math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac17</math>}}
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