:<math>x\in\mathrm{Ker}(u)</math> donc <math>u(x)=0\,</math>
:Si on met les eux informations bout-à-bout, on arrive à <math>u(u(y))=0\,</math>, soit <math>y\in\mathrm{Ker}(u^2)</math>.
:Or, <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\,</math>, donc <math>y\in\mathrm{Ker}(u)</math>, c'est-à-dire <math>x=u(y)=0\,</math>.
:On vient de montrer que <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u),~x=0</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)\subset\{0\}</math>
:L'inclusion inverse est triviale : <math>\{0\}\subset\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>.
{{cadre simple|contenu=On a ainsi montré la deuxième implication : <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Rightarrow \mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>}}
{{cadre simple|contenu='''Finalement, on a bien l'équivalence''' <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>}}}}
