« Fonction dérivée/Nombre dérivé » : différence entre les versions
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== Nombre dérivé d'une fonction en x = a ==
=== Introduction ===
L'accroissement moyen d'une fonction sur un intervalle peut être utile pour une première approche, mais n'est pas forcément représentatif du comportement de la fonction sur cet intervalle. Prenons l'exemple de la fonction ci-dessous :
:[[File:InsuffisanceAccroissementMoyen.svg|300px]]
Entre A et B, les variations de la fonction sont beaucoup plus brutales que ne le laisse apparaître l'accroissement moyen. L'idéal serait de disposer d'un outil plus fin qui rendrait compte de l'accroissement en chaque point. Géométriquement, un tel outil existe : il s'agit de la '''tangente''' à une courbe en un point.
Le '''coefficient directeur de la tangente''' en un point A est ici la grandeur qui nous intéresse le plus, car il correspond à l'accroissement de la fonction au point A d'abscisse ''a''.
Ce qu'on cherche à faire est donc : trouver un outil permettant d'obtenir l'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.
:[[File:Graph of sliding derivative line.gif]]
=== Définition du nombre dérivé ===
On cherche à trouver le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse ''x''.
Pour ce faire, on réutilise la notion d'accroissement sur un intervalle <math>[x;x+h]\,</math> où <math>h\in\R</math>.
:[[File:Secant-calculus.svg|300px]]
L'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle <math>[x;x+h]\,</math> vaut <math>\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}h</math>
Comme ce qui nous intéresse est la tangente, et non une corde, on va diminuer ''h''. Cette manipulation a pour effet de rapprocher les deux points A et B. On s'aperçoit alors que, ce faisant, la corde (AB) se rapproche de plus en plus de la position de la tangente en A à la courbe de ƒ.
:[[Image:Tangent anim.gif|500px]]
Ainsi, lorsque h devient extrêmement petit :
*(AB) se confond avec la tangente en A à la courbe de ƒ
On introduit ainsi la notion de nombre dérivé :
{{Définition|contenu=
La limite de l'accroissement moyen de ƒ entre <math>
<math>f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>}}
▲lorsque <math>{h \to 0}</math>
{{remarque|titre=Notation en physique|contenu=
En mathématiques, on utilise la notation avec une prime pour désigner la dérivée.
Le symbole « petit d » en physique signifie une petite variation de la grandeur qui suit le d. La notation <math>\frac{df}{dx}(a)</math> signifie donc qu'on considère :
== Interprétation graphique ==▼
*une tout petite variation des valeurs de ƒ (dƒ, qui correspond à <math>f(x+h)-f(x)\,</math> lorsque <math>h\to 0</math>)
*divisée par une toute petite variation des valeurs de x (dx, qui correspond à <math>(x+h)-(x)\,</math> lorsque <math>h\to 0</math>)
*le tout au point d'abscisse ''a''
}}
▲=== Interprétation graphique ===
{{propriété|contenu=<math>f'(a)\,</math> est le '''coefficient directeur de la tangente''' à la courbe représentative de ƒ au point ''A''.}}
▲on en déduit que <math>f '(a)\,</math> est le '''coefficient directeur de la tangente'''
<references />
▲[[Image:800px-Tangent-calculus a.png|300px]] [[Image:Tangent anim.gif|500px]]
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