« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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== Espace vectoriel symplectique ==
 
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Sur un espace vectoriel réel ''V'', une ''forme symplectique'' est une forme bilinéaire <math>\omega:V^2\rightarrow \R</math>, supposée :
:* '''antisymétrique''' : pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', <math>\omega(v,w)=-\omega(w,v)</math> ;
:''Remarque :'' L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de ''V'' soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.
 
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Si <math>(V_1,\omega_1)</math> et <math>(V_2,\omega_2)</math> sont deux espaces vectoriels symplectiques, une application linéaire <math>T:V_1\rightarrow V_2</math> est dite '''symplectique''' lorsque, pour tous ''v'' et ''w'' dans ''V''₁, on a :
 
En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur ''V'' muni d'une structure complexe.
 
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Une '''structure complexe''' (ou structure complexe linéaire) sur un espace vectoriel réel ''V'' est la réalisation de ''V'' comme espace vectoriel complexe. Elle est déterminée par la seule action de ''i'', donnée par un endomorphisme réel ''J'' de ''V'' vérifiant :
:<math>J^2=-Id_V</math>
=== Sous-espaces d'un espace symplectique ===
 
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L’'''orthogonal''' d'un sous-espace ''W'' d'un espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> est défini par :
<center><math>W^{o}=\{v\in V, \forall w\in V, \omega(v,w)=0\}</math>.</center>
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