« Fonction dérivée/Nombre dérivé » : différence entre les versions

== Accroissement d'une fonction affine ==

 

Soit une fonction affine ƒ définie sur <math>\R</math> par <math>f:x\mapsto ax+b</math>.

 

=== Introduction ===

 

 

Dans le cas d'une fonction <math>f:x\mapsto f(x)</math> quelconque, définie sur un intervalle ''I'', (voir figure ci-contre), l'accroissement de la fonction n'est pas constant. Parfois la fonction monte, parfois elle redescend, plus ou moins vite. On ne peut pas travailler aussi simplement qu'avec les fonctions affines.

 

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Soient <math>a\in I,~b\in I</math>.

 

L'accroissement moyen d'une fonction sur un intervalle peut être utile pour une première approche, mais n'est pas forcément représentatif du comportement de la fonction sur cet intervalle. Prenons l'exemple de la fonction ci-dessous :

 

 

Entre A et B, les variations de la fonction sont beaucoup plus brutales que ne le laisse apparaître l'accroissement moyen. L'idéal serait de disposer d'un outil plus fin qui rendrait compte de l'accroissement en chaque point. Géométriquement, un tel outil existe : il s'agit de la '''tangente''' à une courbe en un point.

 

Le '''coefficient directeur de la tangente''' en un point A est ici la grandeur qui nous intéresse le plus, car il correspond à l'accroissement de la fonction au point A d'abscisse ''a''.

 

Ce qu'on cherche à faire est donc : trouver un outil permettant d'obtenir l'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.

 

=== Définition du nombre dérivé ===

 

Pour ce faire, on réutilise la notion d'accroissement sur un intervalle <math>[x;x+h]\,</math> où <math>h\in\R</math>.

 

L'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle <math>[x;x+h]\,</math> vaut <math>\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}h</math>

 

Comme ce qui nous intéresse est la tangente, et non une corde, on va diminuer ''h''. Cette manipulation a pour effet de rapprocher les deux points A et B. On s'aperçoit alors que, ce faisant, la corde (AB) se rapproche de plus en plus de la position de la tangente en A à la courbe de ƒ.

 

Ainsi, lorsque h devient extrêmement petit :

On introduit ainsi la notion de nombre dérivé :

 

La limite de l'accroissement moyen de ƒ entre <math>x\,</math> et <math>a+h\,</math> lorsque <math>{h \to 0}</math> est appelée '''nombre dérivé''' de ƒ en <math>x = a\,</math> et noté <math>f '(a)\,</math><ref>ƒ '(a) se lit « f prime de ''a'' »</ref>.

 

{{propriété|contenu=<math>f'(a)\,</math> est le '''coefficient directeur de la tangente''' à la courbe représentative de ƒ au point ''A''.}}

 

 

Nous verrons par la suite que le nombre dérivé n'est '''pas toujours défini'''.

 

 

== Notes ==