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« Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction » : différence entre les versions

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Solutions 3 premiers exemples
Ligne 8 :
| suivant = [[../Dérivée d'une fonction composée/]]
}}
 
== Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction ==
 
On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l'expression à partir d'un réel ''x'' est obtenue en deux temps :
*On applique d'abord une fonction affine
*On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ
 
 
Le schéma étudié est donc le suivant :
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D_1 &\rightarrow& \mathcal D_2 &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}ax+b&\underset f\mapsto&f(ax+b)\\
\end{array}</math>
 
qui peut se ramener à l'étude de
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D_1 &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=f(ax+b)\\
\end{array}
</math>
 
===Théorème ===
 
{{Théorème|contenu=
Soit ''g'' une fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D_1</math> par <math>g:x\mapsto f (ax+b)</math>.
 
Soit <math>x\in\mathcal D_1</math>
Soit ''g'' une fonction définie par <math>g(x) = f (ax+b)\,</math> . Si ''f'' est dérivable au point ''x'' alors ''g'' est dérivable au point <math>ax+b</math> et :
:Si '''ƒ est dérivable au point <math>ax+b\,</math>'''
:Alors '''''g'' est dérivable au point ''x''''' et <math>g'(x) =a \cdot f'(ax+b)\,</math>}}
 
<center><math>g'(x) = a.f'(ax+b)\,</math></center>
 
{{Attention|Avec_fond = oui|Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux '''domaines de définition et de dérivabilité'''. Nous allons le voir sur quelques exemples.}}
}}
 
== Exemples ==
 
===Exemple 1===
*Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g(x) = (3 x + 2)^2\,</math>.
 
IdentifierSoit ''g'' la fonction définie sur <math>f\,R</math> et calculer sa dérivéepar <math>fg:x\mapsto '(3x+2)^2</math>. Dériver ''g''
 
{{principe|titre=Méthode de dérivation|contenu=
{|
*Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
|width="200"|<math>f(x) =\,</math>
|width="200"|*Identifier <math>fax+b\,</math> '(x)et =<math>f\,</math>
*Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée <math>f'\,</math>
*Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ''g'' et calculer sa dérivée <math>g'\,</math> avec le théorème
}}
 
Le schéma est
|}
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}3x+2&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}(\color{blue}3x+2\color{red})^2\\
\end{array}</math>
 
et se ramène à
Utiliser le théorème pour dériver <math>g\,</math>
:<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}(\color{blue}3x+2\color{red})^2\\
\end{array}
</math>
 
<math>g\ '(x) =</math>
 
Soit <math>x\in\R</math>
{{Solution
*D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
| contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
*Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=3x+2</math>
 
*Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g(x) = (-4 x+5 )^3\,</math>
 
Identifier*Pour tout <math>fX\in\R,~\color{red}f(X)=X^2</math>, etdonc calculerƒ saest dérivéedérivable sur <math>f\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=2X</math>
*En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
{|
|width="200"|<math>f(x) =\,</math>
|width="200"|<math>f\ '(x) =</math>
 
*On applique la formule du théorème :
|}
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= 3\cdot \color{magenta}2(3x+2)\\
&= 6(3x+2)
\end{align}</math>
 
Utiliser le théorème{{Résultat|Finalement, pour dérivertout <math>gx\in\R,~g'(x)=6(3x+2)</math> }}
 
===Exemple 2===
<math>g\ '(x) =</math>
{{Solution
| contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
 
*Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g(:x) =\mapsto (\frac{1}{2}x-4x+5)^4\,3</math>. Dériver ''g''
 
Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\cdots &\rightarrow & \cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>
 
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=(-4x+5)^3\\
\end{array}
</math>
 
 
Soit <math>x\in\R</math>
*D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
*Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
 
 
*Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
*En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
*On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
 
 
{{Solution|contenu=
Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}-4x+5&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}(\color{blue}-4x+5\color{red})^3\\
\end{array}</math>
 
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}(\color{blue}-4x+5\color{red})^3\\
\end{array}
</math>
 
 
Soit <math>x\in\R</math>
*D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
*Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=-4x+5</math>
 
 
*Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^3</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=3X^2</math>
*En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
*On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= -4\cdot \color{magenta}3(-4x+5)^2\\
&= -12(-4x+5)^2
\end{align}</math>
 
{{Résultat|Finalement, pour tout <math>x\in\R,~g'(x)=-12(-4x+5)^2</math>}}
}}
 
===Exemple 3===
 
*Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto \left(\frac{1}{2}x+5\right)^4\,</math>. Dériver ''g''
Le schéma est
Identifier <math>f\,</math> et calculer sa dérivée <math>f\ '</math>
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\cdots &\rightarrow & \cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>
 
et se ramène à
{|
:<math>
|width="200"|<math>f(x) =\,</math>
\begin{array}{ccl}
|width="200"|<math>f\ '(x) =</math>
\cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=(-4x+5)^3\\
\end{array}
</math>
 
|}
 
Utiliser le théorème pour dériverSoit <math>gx\,in\R</math>
*D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
*Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
 
 
*Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
*En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
*On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
 
{{Solution|contenu=
Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}\frac{1}{2}x+5&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\left(\color{blue}\frac{1}{2}x+5\color{red}\right)^4\\
\end{array}</math>
 
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}\left(\color{blue}\frac{1}{2}x+5\color{red}\right)^4\\
\end{array}
</math>
 
 
Soit <math>x\in\R</math>
*D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
*Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=\frac{1}{2}x+5</math>
 
 
*Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^4</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=4X^3</math>
*En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
*On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= \frac12\cdot \color{magenta}4\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3\\
&= 2\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3
\end{align}</math>
 
{{Résultat|Finalement, pour tout <math>x\in\R,~g'(x)=2\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3</math>}}
}}
 
===Exemple 4===
<math>g\ '(x) =</math>
{{Solution
| contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
 
*Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g(x) = \frac{1}{2x^3}</math>
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