« Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction » : différence entre les versions
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Correction xemple 4 |
Correction exemple 5 |
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Ligne 318 :
===Exemple 5===
Le schéma est
:<math>
|width="200"|<math>f(x) =\,</math>▼
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>
et se ramène à
|}▼
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\sqrt{5x+3}\\
\end{array}
</math>
{{Solution|contenu=▼
Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}5x+3&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}</math>
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}
</math>}}
▲{{Solution
La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\cdots</math> sur le domaine <math>\cdots</math>. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
{{Solution|contenu=
La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\sqrt{X}</math> sur le domaine <math>[0;+\infty[</math>
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & [0;+\infty[ &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}5x+3&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}</math>
▲<math>g\ '(x) = </math>
<math>ax+b=5x+3\,</math>}}
{{Solution▼
Étudier le signe de l'expression <math>5 x + 3\,</math>. En déduire le domaine <math>\mathcal D</math>
▲{{Solution|contenu=
:<math>\begin{align}
5x+3 \geq 0 &\Leftrightarrow 5x\geq -3\\
&\Leftrightarrow x\geq -\frac35
\end{align}</math>
{{Résultat|On en déduit que la fonction ''g'' est définie sur le domaine <math>\mathcal D=\left[-\frac35;+\infty\right[</math>}}}}
Vérifier la dérivabilité.
{{Solution|contenu=
ƒ est '''n'est dérivable que sur <math>\color{red}]\color{black}0;+\infty[</math>'''
''g'' n'est donc dérivable que si <math>ax+b\not =0</math>, c'est-à-dire si <math>x\not=-\frac35</math>
{{Résultat|Donc ''g'' est dérivable sur <math>\color{red}\left]\color{black}-\frac35;+\infty\right[</math>}}
Par ailleurs, pour tout <math>X\in]0;+\infty[,~f'(X)=\frac1{2\sqrt X}</math>}}
*Enfin, on applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
{{Solution|contenu=
:Pour tout <math>x\in\left]-\frac35;+\infty\right[</math> :
:<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\
&=\frac5{2\sqrt{5x+3}}\\
\end{align}</math>
{{Résultat|Donc, pour tout <math>x\in\left]-\frac35;+\infty\right[,~g'(x)=\frac5{2\sqrt{5x+3}}</math>}}
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