« Système d'équations linéaires/Introduction » : différence entre les versions
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== Notion de système d'équation ==
=== Exemple 1 ===
Une boulangerie vend des baguettes.
Pierre achète trois baguettes et cinq croissants, il paye 7 €.
Paul achète deux baguettes et huit croissants, il paye 10,4 €.
Quel est le prix d'une baguette et d'un croissant ?
Pour résoudre ce problème, on peut procéder par tâtonnements, mais la méthode risque d'être longue et incertaine. L'algébrisation du problème permet d'obtenir la solution à coup sur, et en un temps raisonnable.
Il faut commencer par choisir des inconnues.
On note <math>x</math> l'inconnue représentant le prix d'une baguette, et <math>y</math> l'inconnue représentant le prix d'un croissant.
La facture de Pierre se calcule alors de la manière suivante : <math>3x+5y</math>
Celle de Paul : <math>2x+8y</math>
Connaissant le prix payé par Pierre et Paul, on peut affirmer que les inconnues <math>x</math> et <math>y</math> doivent vérifier simultanément les deux équations :
<math>\left\{\begin{array}{l} 3x+5y = 7 \\ 2x+8y = 10,4 \end{array}\right.</math>
Le caractère simultané des deux équations et représenté par l'accolade ({) devant celles-ci.
On dit que les deux équations forment un système de deux équations à deux inconnues.
=== Exemple 2 ===
Un champ rectangulaire a une aire de 24 m<sup>2</sup> et un périmètre de 20 m.
Quelles sont les dimensions du champ ?
Tentons de mettre ce problème en équations.
On commence par choisir des inconnues :
On note <math>x</math> l'inconnue désignant la largeur (en mètres) du champ, et <math>y</math> l'inconnue désignant la longueur (en mètres) du champ.
L'aire est alors donnée par la formule <math>x\times y</math>, le périmètre par <math>2x+2y</math>.
Connaissant l'aire et le périmètre du champ on peut affirmer que les inconnues <math>x</math> et <math>y</math> doivent vérifier simultanément les deux équations :
<math>\left\{\begin{array}{l} x\times y = 24 \\ 2x + 2y = 20 \end{array}\right.</math>
On obtient à nouveau un système de deux équations à deux inconnues.
=== Quelles est la différence entre ces deux systèmes ? ===
Rappelons les deux systèmes obtenus :
<math>\left\{\begin{array}{l} 3x+5y = 7 \\ 2x+8y = 10,4 \end{array}\right.</math>
et
<math>\left\{\begin{array}{l} x\times y = 24 \\ 2x + 2y = 20 \end{array}\right.</math>
Dans le premier système, les inconnues <math>x</math> et <math>y</math> apparaissent seulement multipliées par des nombres, alors que dans le deuxième, on voit le produit <math>x\times y</math>.
Seul le premier système est dit linéaire, ce sont des systèmes comme celui-ci qui vont être étudiés dans ce cours.
== Qu'est-ce qu'un système d'équations ? ==
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