« Système d'équations linéaires/Résolution par combinaison » : différence entre les versions
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La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par « combinaisons ». Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termes et résoudre le système.
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=== Résolution détaillée ===
Comme on adore déjeuner avec du pain (sans oublier la confiture) et des croissants, étudions à nouveau l'exemple du chapitre précédent.
On a vu que le prix <math>x</math> d'une baguette et le prix <math>y</math> d'un croissant sont solutions du système linéaire
<math>(\mathcal{S}) : \left\{\begin{array}{l} 3x + 5y = 7 \\ 2x + 10y = 10 \end{array}\right.</math>
Au bout de 2 jours, Pierre aura acheté 6 baguettes, 10 croissants, et aura payé 14 €.
Au bout de 3 jours, Paul aura acheté 6 baguettes, 30 croissants, et aura payé 30 €.
Ce qui permet d'écrire le système
<math>\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 6x + 30y = 30\end{array}\right.</math>
Il s'agit donc du système <math>(\mathcal{S})</math> dans lequel on a multiplié la première ligne par 3 et la deuxième par 2.
Les deux amis ont donc acheté le même nombre de baguettes.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a
:<math>(6x+10y) - (6x+30y) = 14 - 30</math>
On remarque que les <math>x</math> s'éliminent :
:<math>6x + 10y - 6x - 30y = -26</math>
:<math>-20y = -26</math>
Et on obtient :
:<math>y = \cfrac{26}{20} = 0,8</math>
Ouf, le croissant coûte toujours 0,8 €.
Maintenant au bout de 2 jours, Pierre aura acheté 6 baguettes, 10 croissants, et aura payé 14 €.
Il a donc acheté autant de croissant que son ami en un seul jour.
Ce qui permet d'écrire le système
<math>\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 2x + 10y = 10\end{array}\right.</math>
Il s'agit donc du système <math>(\mathcal{S})</math> dans lequel on a multiplié la première ligne par 2 et laissé inchangée la deuxième.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a
:<math>(6x+10y) - (2x+10y) = 14 - 10</math>
On remarque que les <math>y</math> s'éliminent :
:<math>6x + 10y - 2x - 10y = 4</math>
:<math>4x = 4</math>
Et on obtient :
:<math>x = 1</math>
Ouf, la baguette coûte toujours 1 €.
=== Résolution concise ===
Pour cela on numérote les différentes lignes du système d'équation :
:<math>(\mathcal{S}) : \left\{\begin{array}{ll} 3x + 5y = 7 & L1\\ 2x + 10y = 10 & L2 \end{array}\right.</math>
Puis on effectue l'opération <math>2\times L1 - 3\times L2</math>, ce qui signifie qu'on multiplie la première équation par 2, la deuxième par 3 et qu'on soustrait les équations obtenues :
:<math>
\begin{array}{ll}
- &
\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 6x + 30y = 30 \end{array}\right. \\
\hline
& -20y = -16
\end{array}</math>
Donc <math>y = \cfrac{16}{20} = 0,8</math>
On effectue ensuite l'opération <math>2\times L1 - L2</math> :
:<math>
\begin{array}{ll}
- &
\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 2x + 10y = 10 \end{array}\right. \\
\hline
& 4x = 4
\end{array}</math>
Donc <math>x = 1</math>
La solution du système est <math>(1;0,8)</math>.
Cette méthode est plus compliquée à bien maîtrisé, mais elle permet des calculs bien souvent plus rapide, et évite l'emploi de nombreuses fractions
== Application de la méthode à des systèmes plus complexes ==
Ce qui suit généralise la méthode précédente, mais dépasse le niveau 9.
Il est plus simple d'introduire cette méthode par un exemple :
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