« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions
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Ligne 26 :
{{
On pose <math>f:x\mapsto\frac{\ln(x)}x</math>, définie sur <math>\R^{+*}</math>
:Pour tout <math>x\in\R^{+*},~f'(x)=\frac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>
Ligne 43 :
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}</math>
{{
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}</math>
{{
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0</math>
Ligne 52 ⟶ 54 :
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}</math>
{{
Soit <math>x\in\R</math>:
Ligne 64 ⟶ 67 :
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
{{
On pose <math>X=x^2\,</math>.
Ligne 73 ⟶ 77 :
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}</math>
{{
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0</math>
Ligne 79 ⟶ 84 :
*<math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)</math>
{{
*<math>\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
Ligne 110 ⟶ 116 :
*<math>\lim_{x\to0}x^2\ln(x)</math>
{{
*<math>\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0</math>
*<math>\lim_{x\to0^+}x=0</math>
Ligne 117 ⟶ 124 :
*<math>\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)</math>
{{
:On pose <math>X=\sqrt x</math>.
:<math>\begin{align}
Ligne 127 ⟶ 135 :
*<math>\lim_{x\to0}\left(\ln(x)+\frac1x\right)</math>
{{
*<math>\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0</math>
*Donc <math>\lim_{x\to0^+}1+x\ln(x)=1</math>
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