« Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme » : différence entre les versions

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*<math>\ln(6)\,</math>
 
== Conséquences ==
== Propriété fondamentale du logarithme népérien ==
 
En s’inspirant de l'exemple, on peut remarquer la propriété algébrique (c’est-à-dire calculatoire) fondamentale du logarithme.
 
{{Théorème|contenu=Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a :
<center><math>\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)</math></center>}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=Soit <math>a\in\R^{+*}</math>
 
Pour tout <math>x\in\R^{+*},~(\ln(a\times x))=a\times \frac1{a\times x}=\frac1x</math>
 
donc pour tout <math>x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+ \textrm{constante}</math>
 
Pour ''x=1'', on obtient <math>\ln(a\times 1)=\ln(1)+\textrm{constante=constante}</math>
 
Donc la constante vaut ''ln(a)''.
 
Finalement, pour tout <math>x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+\ln(a)</math>, cqfd.}}
 
{{Théorème|contenu=
*<math>(a;b)\in ]0 : + \infty[,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)</math>
*<math>(a;b)\in ]0 : + \infty[,\ \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)</math>
*<math>a \in ]0 ; + \infty[,\ n \in \mathbb Z,\ \ln(a^n) = n \ln(a) \quad </math>
}}
 
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]] | précédent = [[../Définition du logarithme néperien/]] | suivant = [[../Étude de la fonction logarithme népérien/]]}}