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« Équations et fonctions du second degré/Fonctions trinôme et complexes » : différence entre les versions

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{{Chapitre
{{Chapitre|titre=Fonctions trinôme et complexes|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Équations et fonctions de second degré]]|numero=5|précédent=[[Équations et fonctions de second degré/Factorisation d'un trinôme|Factorisation d'un trinôme]] | suivant = [[../Somme et produit des racines/]] <small>(13)</small>|niveau=12}}
| titre = Fonctions trinôme et complexes
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Équations et fonctions de second degré]]
| numero = 5
| précédent = [[../Factorisation d'un trinôme/]]
| suivant = [[../Somme et produit des racines/]] <small>(13)</small>
| niveau = 12}}
 
 
== Trinômes à coefficients réels ==
 
Soit la fonction polynomiale du second degré ''f''ƒ définie par pour tout <math>x\in\R,~f(x)=ax^2+bx+c</math>, avec
*''a'', ''b'' et ''c'' trois coefficients réels
*'''''a'' non nul'''.
 
Lors de la [[Équations et fonctions de second degré/Équations du second degré#Discriminant et racines|mise sous forme canonique]] de ''f''ƒ, on a vu que <math>(E)~:~f(x)=0\Leftrightarrow\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}</math>
 
Si <math>\Delta<0,~(E)\Leftrightarrow x+\frac b{2a}=i\sqrt{-\frac{\Delta}{4a^2}}\textrm{~ou~}x+\frac b{2a}=-i\sqrt{-\frac{\Delta}{4a^2}}</math>
Ligne 31 ⟶ 38 :
 
 
{{exemple|contenu=Trouver les racines de la fonction polynomiale <math>f(:x)=\mapsto x^2-2x+2\,</math>.
 
Le discriminant de ''f''ƒ est strictement négatif : <math>\Delta=-4\,</math>, donc ''f''ƒ n'admet aucune racine réelle.
En revanche, il existe deux racines complexes de ''f''ƒ, définies par :
:<math>\begin{align}x_1&=\frac{-(-2)-i\sqrt{-\Delta}}{2\times1}\\
&=\frac{2-2i}2\\
Ligne 46 ⟶ 53 :
\end{align}</math>
 
On peut factoriser ''f''ƒ dans <math>\mathbb C</math> :
 
<math>\begin{align}f_2(x)&=(x-x_1)(x-x_2)\\
Ligne 52 ⟶ 59 :
&=\left(x-\sqrt2e^{\frac{-i\pi}4}\right)\left(x-\sqrt2e^{\frac{i\pi}4}\right)
\end{align}</math>}}
 
== Trinôme complexe ==
 
Toutes les notions que l'on a vues se généralisent dans <math>\mathbb C</math>.
 
Soit la fonction polynomiale du second degré ''f''ƒ définie par pour tout <math>z\in\mathbb C,~f(x)=az^2+bz+c</math>, avec
*''a'', ''b'' et ''c'' trois coefficients complexes
*'''''a'' non nul'''.
 
Le discriminant de ''f''ƒ est défini par <math>\Delta=b^2-4ac^\,</math>.
 
Si <math>\Delta\not=0\,</math>, Δ admet deux racines carrées complexes distinctes <math>\delta\,</math> et <math>-\delta\,</math>.
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{{Bas de page
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Équations et fonctions de second degré]]|précédent=[[Équations et fonctions de second degré/Factorisation d'un trinôme|Factorisation d'un trinôme]] | suivant = [[../Somme et produit des racines/]] <small>(13)</small>}}
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Équations et fonctions de second degré]]
| précédent = [[../Factorisation d'un trinôme/]]
| suivant = [[../Somme et produit des racines/]] <small>(13)</small>}}
 
[[Catégorie:Équations et fonctions de second degré|Inéquations du second degré]]
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