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<li> [[File:Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.2.a - schéma 1.svg|right]]
[[File:Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - Correction question I.2.a - schéma 2.svg|right]]
En notant <math>\phi_2</math> le flux total traversant le solénoïde <math>\Sigma_2</math>, on a d'après la loi de Faraday <math>e_2 = -\frac{d\phi_2}{dt}</math> et d'après la loi d'Ohm <math>e_2 = R_2i_2</math>. Donc
: <math>\frac{d\phi_2}{dt} + R_2i_2 = 0</math>
Or <math>\phi_2 = L_2i_2 + Mi_0</math>, d'où l'équation différentielle
: <math>L_2\frac{di_2}{dt} + M\frac{di_0}{dt} + R_2i_2 = 0</math>
En régime permanent on a <math>i_2 = I_2\cos (\omega t + \varphi)</math>. Avec la notation complexe l'equation précédente devient :
: <math>j\omega L_2\underline{i_2} + j\omega M\underline{i_0} + R_2 \underline{i_2} = 0</math>
d'où
: <math>\underline{i_2} = -\frac{j\omega M\underline{i_0}}{R_2 + j\omega L_2} = -\frac{j\omega \cfrac{M}{R_2}\underline{i_0}}{1 + j\omega\cfrac{L_2}{R_2}}</math>
On obtient le résultat :
<center>{{Cadre simple|contenu=<math>\underline{i_2} = \frac{Kj\cfrac{\omega}{\omega_c}\underline{i_0}}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}</math> avec <math>\omega_c = \frac{R_2}{L_2}</math> et <math>K = -\frac{M}{L_2}</math>}}</center>
Or <math>M = \mu_0\frac{N_1N_2}{L}\pi r_2^2</math> et <math>L_2 = \mu_0\frac{N_1^2}{L}\pi r_2^2</math> donc
<center>{{Cadre simple|contenu=<math>K = -\frac{N_1}{N_2}</math>}}</center>
<li> Le champ <math>\mathbf{B}_2</math> à l'intérieur de solénoïde <math>\Sigma_2</math> s'obtient par superposition des champs créés par <math>\Sigma_1</math> et <math>\Sigma_2</math>, soit d'après la question 1.a :
: <math>\mathbf{B}_2 = \left(\mu_0\frac{N_1}{L}i_0 + \mu\frac{N_2}{L}i_2\right)\mathbf{e}_z</math>
Soit en notation complexe, et d'après la question précédente :
: <math>\underline{\mathbf{B}_2} = \left(\mu_0\frac{N_1}{L} + \mu_0\frac{N_2}{L}\frac{Kj\cfrac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}\right)\underline{i_0}\mathbf{e}_z</math>
En tenant compte de <math>N_2K = -N_1</math> on obtient l'amplitude complexe <math>\underline{B_2}</math> du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde <math>\Sigma_2</math> :
: <math>\underline{B_2} = \mu_0\frac{N_1}{L}\left(1 - \frac{j\cfrac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}\right)I_0</math>
<center>{{Cadre simple|contenu=<math>\underline{B_2} = \mu_0\frac{N_1}{L}I_0\frac{1}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}</math>}}</center>
D'où la norme <math>B_2</math> de ce champ magnétique :
: <math>B_2 = \frac{\mu_0N_1I_0}{L\sqrt{1 + \cfrac{\omega^2}{\omega_c^2}}}</math>
laquelle tend vers 0 lorsque <math>\omega</math> tend vers l'infini. <br/>
<center>{{Cadre simple|contenu=A haute fréquence le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde <math>\Sigma_2</math> tend vers 0.}}</center>
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