« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 12 :
 
== Convexité et continuité ==
 
(à faire : inégalité des pentes et convexe implique continue)
{{Propriété|titre = Lemme : Inégalité des pentes|contenu =
Soit <math>f\,</math> une fonction convexe sur un intervalle <math>I\,</math> et <math>a<b<c\,</math> dans <math>I\,</math> .<br/>
Alors :<br/>
<center>{{Résultat|<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\,</math>}}</center>}}
(Une illustration serait là aussi la bienvenue...)
 
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu =
Comme <math>b\in]a;c[\,</math> , cela signifie que :<math>\exist \lambda \in ]0;1[ |b = \lambda a +(1-\lambda)c\,</math>. Calculons <math>\lambda\,</math> :<br/>
<math>b = c +\lambda (a-c) \Longrightarrow \lambda =\frac{b-c}{a-c}\,</math> .<br/>
Alors, puisque <math>f\,</math> est convexe, on a :<br/>
<math>f(b) = f(\lambda a +(1-\lambda)c) \le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(c)\,</math>, donc <br/>
<math>f(b) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c)) + f(c) \Longrightarrow f(b)-f(c) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c))\,</math> d'où l'on tire l'inégalité de droite.<br/> Celle de gauche se démontre de la même manière.}}
 
On déduit (mais ce n'est pas si facile) de ce Lemme et du Théorème de la limite monotone (voir [[Fonctions d'une variable réelle/Limites]]) la propriété suivante :<br/>
{{Propriété|contenu =
Toute fonction convexe est continue.}}
 
{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=
On considère la fonction "pente" définie par : <br/>
<math>p_{x_0} : \begin{array}[t]{lcl}]a;b[ &\rightarrow & \Bbb R \\
x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\end{array}
</math><br/>
Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y\,</math> , <math>x<x_0<y\,</math> , <math>x<y<x_0\,</math> .<br/> Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0\,</math> finies. Cela montre que <math>f\,</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f\,</math> est continue<br/> (on démontre cette implication exactement de la même manière que l'implication <math>f\,</math> dérivable <math>\Rightarrow f\,</math> continue).}}
 
== Convexité et dérivabilité ==