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« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

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la fonction <math>Log</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
 
:<math>LogLn : \Omega \rightarrow \mathbb{C}</math>
:<math>LogLn(z)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right) \;</math>
 
où <math>ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.
Ligne 82 :
 
Pour tout <math>z\in\Omega</math>, on a :
# <math>(LogLn)\,'(z)=\frac{1}{z}</math>,
# <math>e^{LogLn(z)}=z</math>,
#<math>LogLn(e^z)=z+2i\pi\mathbb{Z}</math> pour peu que <math>e^z \in \Omega</math>.
}}
==== Dérivées partielles du logarithme complexe ====
Ligne 90 :
On note <math>z=x+yi</math>, pour <math>z \in \mathbb{C}</math>, on a :
 
: <math>\mathrm D_x(LogLn(z))=\mathrm D_x(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_x(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{x}{x^2+y^2}+i \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}</math>
 
:<math>\mathrm D_y(LogLn(z))=\mathrm D_y(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_y(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{y}{x^2+y^2}+i \frac{x}{x^2+y^2}=\frac{y+xi}{x^2+y^2}</math>
 
Ainsi <math>Log</math> est holomorphe, puisque :
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