« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| titre = Intégrale de Riemann
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[
| numero = 1
| précédent = [[../|sommaire]]
|
| niveau = 13
}}
Dans tout ce cours, <math>a < b\,</math> sont des réels.<br/>
L'idée intuitive d'intégrale d'une fonction est celle "d'aire sous sa courbe" (au moins pour une fonction positive). Nous allons ici donner une façon de construire '''théoriquement''' l'intégrale à partir de cette idée (il existe d'autres constructions comme notamment celle de Lebesgue).<br/>
== Intégrale d'une fonction en escalier ==
{{Définition
| titre = Définition : Fonction en escalier | contenu = Une fonction <math>f : [a;b] \to \R\,</math> est dite '''en escalier''' si, et seulement si, il existe une subdivision de <math>[a;b]\,</math> adaptée à <math>f\,</math> , c'est-à-dire un ensemble de points (subdivision) de <math>[a;b]\,</math> tel que :<br/>
* <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)\,</math> ;
* <math>f\,</math> est constante sur chaque intervalle <math>[a_i;a_{i+1}] \, \forall i \in [1;n]\cap \mathbb N\,</math> .
}} '''Notation :''' On notera <math>\mathcal E([a;b])\,</math> l'ensemble des fonctions en escalier sur <math>[a;b]\,</math> .<br/>
<br/>
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Si on la prend sur <math>[0;3]\,</math> , alors <math>(0;1;2;3)\,</math> est une subdivision adaptée à <math>E\,</math> sur <math>[0;3]\,</math> .<math>(0;2;3)\,</math> n'en est pas une car <math>E\,</math> n'est pas constante sur <math>[0;2]\,</math>.<br/>
{{Définition
| titre = Définition : Intégrale d'une fonction en escalier | contenu = Soit <math>f \in \mathcal E([a;b])\,</math>.<br/>
'''L'intégrale de la fonction <math>f\,</math> sur <math>[a;b]\,</math>''' est le '''nombre réel''' :<br/>
<center>
<center>{{Résultat|<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) f(a_i)\,</math>}}</center>}}▼
{{Résultat
▲
}}
</center>
}}
'''Exemple :''' Pour la fonction partie entière, on a en choisissant la subdivision <math>(0;1;2;3)\,</math> :<br/>
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(manque d'illustrations)
== Intégrale d'une fonction continue par morceaux ==
{{Définition|titre = Définition : Fonction continue par morceaux|contenu =▼
{{Définition
Une fonction <math>f : [a;b] \to \R\,</math> est dite '''continue par morceaux''' si, et seulement si, il existe une subdivision <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)\,</math> de <math>[a;b]\,</math> telle que <math>f\,</math> soit continue sur chaque intervalle <math>[a_i;a_{i+1}] \, \forall i \in [1;n]\cap \mathbb N\,</math> .}}▼
| contenu =
▲Une fonction <math>f : [a;b] \to \R\,</math> est dite '''continue par morceaux''' si, et seulement si, il existe une subdivision <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)\,</math> de <math>[a;b]\,</math> telle que <math>f\,</math> soit continue sur chaque intervalle <math>[a_i;a_{i+1}] \, \forall i \in [1;n]\cap \mathbb N\,</math> .
}}
'''Notation :''' On notera <math>\mathcal {CM}([a;b])\,</math> l'ensemble des fonctions continue par morceaux sur <math>[a;b]\,</math> .<br/>
{{Propriété
| titre = Propriété : Approximation d'une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier | contenu = Soit <math>f\in \mathcal {CM}([a;b])\,</math> .<br/>
<center>{{Résultat|<math>\forall \varepsilon >0 , \exist \psi,\varphi \in \mathcal E([a;b]) \;|\; \psi \le f \le \varphi \mathrm{\;et\;} \varphi - \psi \le \varepsilon\,</math>}}</center>
}} {{boîte déroulante
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu = On fait la preuve seulement pour <math>f\,</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br/>▼
| titre = Démonstration
▲
<math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math> donc elle y est uniformément continue d'après le Théorème de Heine. On a donc :<br/>
<center><math>\forall \varepsilon >0 , \exist \delta_{\varepsilon}>0|\forall x,y \in [a;b] , |x-y|< \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\,</math></center><br/>
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*<math>\psi(x) = m_i = \min_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> ;<br/>
*<math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> .<br/>
La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math>).
}} {{Définition
| titre = Définition : Fonction intégrable au sens de Riemann | contenu = On note :
*<math>\mathcal E^- =\{\psi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\psi \le f\}\,</math> et <math>\mathcal I^- = \left\{\int_a^b \psi(x)\mathrm{d}x \;| \;\psi \in \mathcal E^-\right\}\,</math>
*<math>\mathcal E^+ =\{\varphi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\varphi \ge f\}\,</math> et <math>\mathcal I^+ = \left\{\int_a^b \varphi(x)\mathrm{d}x \;|\; \psi \in \mathcal E^+\right\}\,</math>.<br/>
La fonction f\, est dite '''intégrable au sens de Riemann''' si, et seulement si :<br/>
<center>
<center>{{Résultat|<math>\inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-\,</math>}}</center>}}▼
{{Résultat
}}
</center>
}}
{{Théorème
| contenu = Toute fonction continue par morceaux est Riemann-intégrable.
}} (preuve à faire)
{{Bas de page
}}
[[Catégorie:Intégration(mathématiques)]]
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