« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions
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Ligne 69 :
*<math>\psi(x) = m_i = \min_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> ;<br/>
*<math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> .<br/>
La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math>) permettent alors de conclure.
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Ligne 90 :
Toute fonction continue par morceaux est Riemann-intégrable.
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{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu =
On fait la preuve seulement pour <math>f\,</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br/>
Il est clair que <math>\inf \mathcal I^+ \le \sup \mathcal I^-\,</math>, si ces nombres existent (cette inégalité vient de la définition même de <math>\mathcal I^+ \,</math> et <math>\mathcal I^- \,</math> ).<br/>
D'après la propriété précédente, si <math>f\,</math> est continue sur <math>[a;b]\,</math> , alors il existe deux fonctions <math>\psi\,</math> et <math>\varphi\,</math> en escalier telles que (en fixant <math>\varepsilon>0\,</math>) <math>\psi \le f \le \varphi\,</math> et <math>\varphi-\psi<\varepsilon\,</math> .<br/>
On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que <math>\varphi-\psi<\varepsilon \Rightarrow \int_a^b \varphi(x)-\psi(x) \mathrm{d}x < \int_a^b \varepsilon \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a)\,</math>. <br/>
Mais comme cela est vrai '''pour tout''' <math>\varepsilon >0\,</math> , cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieures et supérieures annoncées existent et qu'elles vérifient la propriété :<br/>
<center><math>\inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-\,</math></center><br/> ce qui achève la démonstration.}}
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