« Ondes électromagnétiques/Rayonnement dipolaire » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| titre = Rayonnement dipolaire
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*<math>\vec B({\rm M},t)=\frac{\mu_0}{4\pi r}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi}\left[\vec p(\xi)\right]\right)</math>
[[File:Bremsstrahlung.svg|thumb|Bremsstrahlung]]
{{théorème
| titre = Champ magnétique émis par un dipôle oscillant
| contenu = <math>\vec B({\rm M},t)=\frac{\mu_0}{4\pi rc} \vec u_r \wedge \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\xi^2}\left[\vec p\left(t-\frac rc\right)\right]</math>}}
Ce résultat a de nombreuses conséquences en physique, dont par exemple le ''[[w:Bremsstrahlung|Bremsstrahlung]]'' (rayonnement de freinage en allemand). Lorsqu'on dirige un faisceau d'électrons vers un obstacle, les électrons sont déviés de leur trajectoire. Ce faisant, ils sont soumis à une accélération, et donc émettent un rayonnement électromagnétique qui leur fait perdre de l'énergie.
[[File:Synchrotron radiation.jpg|thumb|Source de rayonnement synchrotron. La lumière que l'on voit est le résultat de l'ionisation des molécules de l'air par le rayonnement de la source.]]
Ce principe est utilisé pour générer des rayons X dans des dispositifs à [[w:Rayonnement synchrotron|rayonnement synchrotron]]. Ces sources synchrotron sont utiles par exemple en médecine et en radioastronomie.
L'existence du rayonnement synchrotron est également un phénomène qui montre l'insuffisance du modèle de Bohr pour décrire l'atome. Si les électrons tournaient autour de l'atome en permanence, comme ils sont continuellement soumis à une accélération, ils devraient rayonner de l'énergie et peu à peu se rapprocher de l'atome jusqu'à enterr en collision avec lui.
=== Approximation de l'onde quasi-plane ===
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== Puissance rayonnée ==
Supposons dans ce paragraphe que <math>\vec p(t)=p(t)\vec u_z</math>. Les équations de Maxwell étant linéaires, cette hypothèse n'influe pas sur la généralité du problème.
===Anisotropie du rayonnement ===
[[File:Spherical with grid.svg|right|400px]]
Dans le système de coordonnées sphériques, l'expression du champ magnétique devient, en norme :
:<math>||\vec B({\rm M},t)|| = \frac{\mu_0\sin(\theta)}{4\pi rc} \ddot p\left(t-\frac rc\right)</math>
On remarque alors que le champ magnétique est '''anisotrope''', c'est-à-dire qu'il n'a pas la même intensité dans toutes les directions de l'espace.
=== Puissance ===
Localement, on utilise le vecteur de Poynting :
:<math>\begin{align}
\vec\Pi &= \frac1{\mu_0}\vec E\wedge\vec B=\frac{cB^2}{\mu_0}\vec u_r\\
&=\frac{\mu_0\sin^2(\theta)}{16\pi^2 r^2c} \ddot p\left(t-\frac rc\right) \vec u_r
\end{align}</math>
Globalement, notons <math>\mathcal S</math> une sphère centrée en O, englobant le volume V, de rayon ''R'' très grand devant les dimensions caractéristiques de V. La puissance traversant <math>\mathcal S</math> vaut :
:<math>\begin{align}
\mathcal P &= \oint_{\mathcal S} \vec\Pi\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}\\
&= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \frac{\mu_0\sin^2(\theta)}{16\pi^2 R^2c} \left[\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right]^2\, R^2\sin(\theta) \,{\rm d}\theta\,{\rm d}\varphi \\
&= \left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\sin^2(\theta)\sin(\theta) \,{\rm d}\theta\right)\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\,{\rm d}\varphi\right) \frac{\mu_0}{16\pi^2 c} \left[\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right]^2 \\
&= \frac43\,2\pi\,\frac{\mu_0}{16\pi^2 c} \left[\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right]^2 \\
&= \frac{\mu_0}{6\pi c} \left[\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right]^2 \\
\end{align}</math>
Soit une puissance moyenne de <math>\langle\mathcal P\rangle = \frac{\mu_0}{6\pi c} \left\langle\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right\rangle^2</math>, qui est bien indépendante de ''R'' conformément à la conservation de l'énergie.
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| idfaculté = physique
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