« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions

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{{Chapitre
{{Chapitre|titre=Convexité|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonctions d'une variable réelle]]|précédent=[[Fonctions d'une variable réelle/Développements limités|Développements limités]]|suivant=[[Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme|Continuité uniforme]]|numero=6|niveau=13}}
| titre = Convexité
{{Clr}}
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[../]]
| précédent = [[../Développements limités/]]
| suivant = [[../Continuité uniforme/]]
| numero = 6
| niveau = 13
}}
 
== Définition et interprétation graphique ==
{{Définition
| contenu =
Soit <math>f : I \to \R\,</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I\,</math> .<br/>
La fonction <math>f\,</math> est dite '''convexe sur <math>I\,</math> ''', si, et seulement si :<br/>
<center>
<center>{{Résultat|<math>\forall x,y \in I,\, \forall \lambda \in [0;1] \, , f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\,</math> }}</center>}}
{{Résultat
<br/>
<center>{{Résultat | <math>\forall x,y \in I,\, \forall \lambda \in [0;1] \, , f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\,</math> }}</center>}}
}}
</center>
}}
 
'''Interprétation graphique :''' Cela signifie que, si <math>A(x,f(x))\,</math> et <math>B(y,f(y))\,</math> sont deux points de la courbe représentative de <math>f\,</math> , alors le segment <math>[AB]\,</math> est au-dessus de l'arc <math>\overset{{}_{\displaystyle\frown}}{AB}\,</math> de la courbe de <math>f\,</math> .
[[Image : Convex Function.svg|left|thumb|Illustration de la convexité]]
(Dans cette illsutration , <math>t\,</math> joue le rôle de <math>\lambda\,</math> ).
 
{{Clr}}
== Convexité et continuité ==
 
{{Propriété
| titre = Lemme : Inégalité des pentes
| contenu =
Soit <math>f\,</math> une fonction convexe sur un intervalle <math>I\,</math> et <math>a<b<c\,</math> dans <math>I\,</math> .<br/>
Alors :<br/>
<center>
<center>{{Résultat|<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\,</math>}}</center>}}
{{Résultat
<center>{{Résultat | <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\,</math>}}</center>}}
}}
</center>
}}
[[Image : Convex fnx.jpg|left|thumb|Illustration de l'Inégalitéinégalité des pentes]]
 
 
[[Image : Convex fnx.jpg|left|thumb|Illustration de l'Inégalité des pentes]]
{{Démonstration déroulante
{{Clr}}
{{boîte déroulante |titre = Démonstration|contenu =
Comme <math>b\in]a;c[\,</math> , cela signifie que :<math>\exist \lambda \in ]0;1[ |b = \lambda a +(1-\lambda)c\,</math>. Calculons <math>\lambda\,</math> :<br/>
<math>b = c +\lambda (a-c) \Longrightarrow \lambda =\frac{b-c}{a-c}\,</math> .<br/>
Alors, puisque <math>f\,</math> est convexe, on a :<br/>
<math>f(b) = f(\lambda a +(1-\lambda)c) \le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(c)\,</math>, donc <br/>
<math>f(b) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c)) + f(c) \Longrightarrow f(b)-f(c) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c))\,</math> d'où l'on tire l'inégalité de droite.<br/> Celle de gauche se démontre de la même manière.
}}
 
On déduit (mais ce n'est pas si facile) de ce Lemme et du Théorème de la limite monotone (voir [[Fonctions d'une variable réelle/Limites]]) la propriété suivante :<br/>
{{Propriété|contenu =
Toute fonction convexe est continue.}}
 
{{Propriété|contenu =
{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=
| contenu =
Toute fonction convexe est continue.}}
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
On considère la fonction "pente" définie par : <br/>
<math>p_{x_0} : \begin{array}[t]{lcl}]a;b[ &\rightarrow & \Bbb R \\
x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\end{array}
</math><br/>
 
Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y\,</math> , <math>x<x_0<y\,</math> , <math>x<y<x_0\,</math> .<br/> Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0\,</math> finies. Cela montre que <math>f\,</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f\,</math> est continue<br/> (on démontre cette implication exactement de la même manière que l'implication <math>f\,</math> dérivable <math>\Rightarrow f\,</math> continue).}}
}}
 
== Convexité et dérivabilité ==
On déduit finalement de cette étude les propriétés utilisées en pratique pour caractériser les fonctions convexes dérivables :<br/>
 
{{Propriété
| titre = Propriété : Caractérisation des fonctions convexes dérivables
| contenu =
Soit <math>f\,</math> une fonction '''dérivable''' sur un intervalle <math>I\,</math> .<br/>
<math>f\,</math> est convexe si sa dérivée <math>f'\,</math> est croissante sur <math>I\,</math> .
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il suffit de "passer à la limite" dans l'inégalité des pentes.}}
}}
 
Mais il y aussi son corollaire, qui est la propriété la plus utile en pratique :<br/>
 
{{Propriété
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu =
| titre = Corollaire
Il suffit de "passer à la limite" dans l'inégalité des pentes.}}
| contenu =
Soit <math>f\,</math> une fonction '''deux fois dérivable''' sur un intervalle <math>I\,</math>. Alors :
 
<center>
Mais il y aussi son corollaire, qui est la propriété la plus utile en pratique :<br/>
{{Résultat
{{Propriété|titre=Corollaire|contenu =
Soit | <math>f\,</math> une fonction '''deux\ge fois0 dérivable'''\Rightarrow surf un intervalle <math>I\,\mbox{convexe}\,</math> .Alors :<br/>
}}
<center>{{Résultat|<math>f''\ge 0 \Rightarrow f \,\mbox{convexe}\,</math>}}</center>}}
</center>
}}
 
 
{{Bas de page
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonctions d'une variable réelle]]|précédent=[[Fonctions d'une variable réelle/Développements limités|Développements limités]]|suivant=[[Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme|Continuité uniforme]]}}
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[../]]
| précédent = [[../Développements limités/]]
| suivant = [[../Continuité uniforme/]]
}}
 
[[Catégorie:Fonctions d'une variable réelle]]