« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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Le but est de montrer que certaines assertions, des plus simples aux plus ardues, sont vraies ou fausses. Pour élaborer de nouvelles assertions à partir d'un petit jeu de base, qu'on appelle '''axiomes''', on utilise [quasiment exclusivement non ?] les connecteurs logiques et les quantificateurs.
== Connecteurs logiques ==
Ici <math>P</math> et <math>Q</math> désignent des assertions. On en construit de nouvelles grâce aux connecteurs logiques suivants. On présente le résultat de la nouvelle assertion, en fonction des valeurs de vérité de <math>P</math> et <math>Q</math> dans une table de vérité :
=== Négation ===
On note non ''P'' ou ¬''P'', la négation de <math>P</math> :
Ligne 40 :
</center>
=== Conjonction ===
L'assertion « ''P'' et ''Q'' » (aussi notée « ''P'' ∧ ''Q'' ») est vraie si et seulement si ''P'' et ''Q'' sont toutes deux vraies :
Ligne 59 :
On appelle cette assertion la '''conjonction''' de ''P'' et de ''Q''.
=== Disjonction ===
On appelle '''disjonction''' de ''P'' et ''Q'' l'assertion « ''P'' ou ''Q'' » (aussi notée « ''P'' ∨ ''Q'' ». Elle est vraie si et seulement si au moins l'une des deux assertions ''P'' et ''Q'' est vraie. Il s'agit d'un « ou » ''inclusif'' :
Ligne 78 :
</center>
=== Implication ===
On appelle '''implication''' de ''Q'' par ''P'' l'assertion « <math>P \Rightarrow Q</math> » qui n'est autre que « non ''P'' ou ''Q'' » :
Ligne 100 :
*Si « <math>P \Rightarrow Q</math> » est vraie, on dit que ''P'' est une '''condition suffisante''' de ''Q'' et que ''Q'' est une '''condition nécessaire''' de ''P''.
=== Équivalence ===
On appelle '''équivalence''' de ''P'' et ''Q'' l'assertion, notée « <math>P \Leftrightarrow Q</math> »
<math>P \Leftrightarrow Q</math> est vraie si et seulement si ''P'' et ''Q'' ont même valeur de vérité. Dans ce cas on dit que ''P'' (''resp'' : ''Q'') est une '''condition nécessaire et suffisante''' de ''Q'' (''resp'' : ''P'') :
Ligne 119 :
</center>
=== Quelques résultats usuels ===
Ici ''P'', ''Q'' et ''R'' désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :
Ligne 127 :
* <math>(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\text{non}\, Q \Rightarrow \text{non} \,P)</math> (c'est la [[w:Proposition contraposée|contraposition]] ou ''modus tollens''.)
== Prédicats, quantificateurs ==
{{Définition
| titre = Définition : prédicat
Ligne 136 :
* Pour tout ''x'' réel, on définit ''P''(''x'') par : <math>x\geq 1</math>. C'est un prédicat sur <math>\R</math>, vrai pour 2 et faux pour 0.
=== Quantificateurs existentiels ===
*On écrit <math>\exists x\in E / P(x)</math> pour signifier qu'il existe au moins un ''x'' élément de ''E'' tel que ''P''(''x'') soit vrai.
*On écrit <math>\exists ! x\in E / P(x)</math> pour signifier qu'il existe un unique ''x'' élément de ''E'' tel que ''P''(''x'') soit vrai.
=== Quantificateur universel ===
* On écrit <math>\forall x\in E, P(x)</math> pour signifier que pour tous les éléments ''x'' de ''E'', ''P''(''x'') est vrai.
=== Négations des quantifications ===
On a :
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