« Polynôme/Dérivation formelle » : différence entre les versions

{{Chapitre

| précédent = [[../Arithmétique des polynômes/]]

}}

 

Soit <math>P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb K[X]\,</math> .<br/>

* La '''dérivée (formelle) de <math>P\,</math> ''' est le polynôme :<br/>

<center>{{Résultat|<math>P' = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \,</math>}}</center>.<br/>

* La '''dérivée p-ème de <math>P\,</math>''' (<math>p\in \mathbb N\,</math>) est définie par récurrence :<br/>

C'est une notion "formelle" et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l'[[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|Analyse]], elle se définit ici sans référer à la notion de limite...<br/>

On remarquera que, si \mathbb K\, est un corps fini, cette notion peut donner lieu à des "bizarreries" (surtout en référence à l'Analyse) : par exemple, si <math>\mathbb K = \mathbb Z / 3\mathbb Z\,</math> et <math>P = X^3 - 1\,</math> , alors <math>P' = 3X^2 = 0\,</math> mais <math>P\,</math> n'est pas constant !

 

On dispose d'une Formule de Taylor-Young (comme en [[Fonctions d'une variable réelle/Développements limités|Analyse]] mais sans le "petit o") : <br/>

Soient <math>\alpha\in \mathbb K\,</math> et <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> .<br/>

Alors :<br/>

 

En fait, dans les corps finis, il faut encore faire preuve de "méfiance", les coefficients <math>\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}\,</math> n'étant pas toujours définis.

{{Bas de page

| idfaculté = mathématiques

| précédent = [[../Arithmétique des polynômes/]]

 

[[Catégorie:Polynôme]]