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Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).
Définitions
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans :
Définition : Espace de Banach
- Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
- On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
Théorèmes
Dans tout ce paragraphe, est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
(démonstration à faire)
Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
Soient et deux Banach, et .
existe dans si, et seulement si :
(démonstration à faire)
Théorème du point fixe de Banach
Soient un Banach et une application -contractante .
Alors :
- la fonction admet un unique point fixe sur (c'est-à-dire )
- est la limite de toute suite de définie par et .
c'est-à-dire -lipschitzienne avec .
Démonstration
- Existence du point fixe :Puisque est -contractante, on a donc :
. On en déduit par une récurrence facile que :
puis que :
donc est de Cauchy et converge vers . En passant à la limite dans , on obtient bien que et que est un point fixe de .
- Unicité du point fixe : Supposons que et soient deux points fixes de . Alors :
(car ) , ce qui est absurde sauf si .