« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions
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{{Exercice
| titre =
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Approfondissement sur les suites numériques]]
| numero =
| chapitre =
| niveau = 13
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== Un simple automate cellulaire ==
Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue ''pas à pas'', observant les structures qu'il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d'en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes linéaires d'ordre deux.
=== Définition de l'automate ===
Cet automate prendra deux valeurs, d'indice ''n'' et ''n+1'', et retournera la valeur d'indice ''n+2''. On incrémente alors ''n'' et on recommence l'opération.
Les règles sont :
* <math>(0, 0) \mapsto 1</math> ;
* <math>(1, 0) \mapsto 0</math> ;
* <math>(0, 1) \mapsto 0</math> ;
L'automate reçoit les deux premières valeur et les complète avec ces règles. Par exemple, si on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c'est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.
=== Questions ===
:'''1.''' Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente linéaire d'ordre deux. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
:'''2.''' Montrer que l'équation homogène associée n'admet pas de solutions réelles ;
:'''3.''' Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique.
{{Solution}}
=== Oublions les règles ===
Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.
:'''1.''' Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
:'''2.''' Existe-t-il une solution complexe à l'équation homogène ? Est-elle bornée ?
{{Solution}}
On change les règles de l'automate (''x'' représente n'importe quel nombre, ce n'est pas une quantité fixe) :
* <math>(0, 0) \mapsto 0</math> ;
* <math>(a, b) \mapsto x \geq 0</math> si <math>a \geq b</math>;
* <math>(a, b) \mapsto x \leq 0</math> si <math>a \leq b</math>.
Dans ce cas :
:'''1.''' Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
:'''2.''' Quelle est l'évolution d'une séquence décrite par cette équation ?
{{Solution}}
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| leçon = [[Approfondissement sur les suites numériques]]
}}
[[Catégorie:Approfondissement sur les suites numériques]]
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