« Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège » : différence entre les versions

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Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.
 
==== Par deux points distincts, il passe une et une seule droite ====
 
==== Par un point, il ne passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée ====
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
 
==== Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée ====
 
==== La symétrie axiale ne change pas les angles ====
Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite D, alors : <math>\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}</math>
 
==== Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu ====
Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : [[#Par deux points distincts, il passe une et une seule droite|"Par deux points distincts, il passe une et une seule droite"]].
 
==== Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaireparallèle à l'une est perpendiculaireparallèle à l'autre ====
 
Prenons D et D' parallèles. Si D'' est parallèle à D et sécante avec D'. Soit I le point d'intersection, alors D et D' sont parallèles à D'' passant par le même point. Ceci contredit cet axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée"]].
== Autres propriétés des symétries axiales ==
==== Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie ====
EvidentÉvident par définition de la symétrie axiale.
==== L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine ====
D et D' sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : [[#Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie|"Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie"]], D et D' sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' le symétrique de O par rapport à (AB) appartient aussi à D et à D', qui ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.
 
==== Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre ====
perpendiculaire à l'autre ====
Soit D et D' les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d'après :[[#Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre|"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre"]].
Soit <math>\delta</math> la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à D et <math>\delta</math> qui sont donc parallèles d'après la propriété : [[#Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles|"Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles"]].
Mais alors l'image de D par rapport à <math>\delta</math> est parallèle à D (d'après la propriété : [[#L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine|"L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine"]]), et passe par B. De plus par l'axiome : [[#La symétrie axiale ne change pas les angles|"La symétrie axiale ne change pas les angles"]] et l'axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée"]] elle est égale à D'. Donc D' est parallèle à D.
 
[[Catégorie:Attente Transwiki]]
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