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« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

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{{Chapitre
{{Chapitre|titre=Produit scalaire|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Espace préhilbertien réel]]|numero=2 | précédent = [[../Formes bilinéaires symétriques/]] | suivant = [[../Orthogonalité/]]|niveau=14}}
| titre = Produit scalaire
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[../]]
| numero = 2
| précédent = [[../Formes bilinéaires symétriques/]]
| suivant = [[../Orthogonalité/]]
| niveau = 14
}}
 
== Produit scalaire ==
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{{Définition
| contenu =
On appelle '''produit scalaire sur E''' toute '''forme bilinéaire symétrique définie positive''' sur E.}}
 
On appelle alors espace '''préhilbertien réel''' tout <math>\R</math>-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.}}▼
 
{{Définition
| contenu =
▲On appelle espace '''préhilbertien réel''' tout <math>\R</math>-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.}}
 
On suppose désormais que E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.
 
{{principe|titre=Convention de notation|contenu=On notera ce produit scalaire <math>(\langle\cdot|\cdot)\rangle</math> (au lieu de <math>f(\cdot,\cdot)</math>).}}
=== Propriétés ===
 
{{théorème|titre=Inégalité de Cauchy-Schwarz|contenu=<math>\forall(x,y)\in E^2,~(x|y)^2\leq(x|x)(y|y)</math>
{{théorème
| titre = Inégalité de Cauchy-Schwarz
| contenu = <math>\forall(x,y)\in E^2,~\langle x|y\rangle^2\leq\langle x|x\rangle\langle y|y\rangle</math>
 
On a égalité ssi (x,y) est liée.}}
 
== Norme, distance ==
=== Définitions ===
{{Définition
| contenu =
On définit sur E la '''norme préhilbertienne''' <nowikimath>||.\cdot||</nowikimath> (,c'est-à-dire associée au produit scalaire <nowikimath>(.\langle\cdot|.)\cdot\rangle</nowikimath> ), par <math>\forall x\in E,~||x||=\sqrt{(\langle x|x)\rangle}</math>.}}
 
On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée <math>||\cdot||_2</math>. Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie on s'en tiendra à la notation simple.
:→ [[Fichier:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|20px]] Voir le cours sur les [[espaces vectoriels normés]] pour plus de détails sur les normes.
 
{{Définition
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=== Propriétés ===
{{théorème
|titre contenu=
;Inégalité triangulaire|contenu=
*<math>\forall(x,y)\in E^2,~|||x||-||y|||\leq ||x+y||\leq ||x||+||y||</math>
*<math>\forall(x,y)\in E^2,~|||x||-||y|||\leq ||x-y||\leq ||x||+||y||</math>}}
 
 
{{théorème|titre=;Identité du parallélogramme|contenu=
*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2</math>}}
 
{{théorème|titre=;Formules de polarisation|contenu=▼
*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2(\langle x|y)\rangle</math>▼
*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2-||x-y||^2=4(\langle x|y)\rangle</math>}}▼
 
L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. La démonstration de cette propriété est laissée en exercice.
▲{{théorème|titre=Formules de polarisation|contenu=
▲*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2(x|y)</math>
▲*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2-||x-y||^2=4(x|y)</math>}}
 
== Exemples fondamentaux ==
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans Rⁿ|contenu=
<math>E=\R^n</math> muni du produit scalaire usuel <math>\forall(x,y)\in E^2,~(\langle x|y)\rangle=\sum_{i_1}^nx_iy_i</math>
*La norme associée est la norme euclidienne : <math>\forall x\in E,~||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(x,y)\in E^2,~\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^niy_i^2\right)</math>}}
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{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans C([a,b])</sup>|contenu=
<math>E=\mathcal C([a,b])</math> muni du produit scalaire <math>\forall(f,g)\in E^2,~(\langle f|g)\rangle=\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt</math>
*La norme associée est la norme 2 : <math>\forall f\in E,~||f||_2=\sqrt{\int_a^b f(t)^2~\mathrm dt}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(f,g)\in E^2,~\left(\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt\right)^2\leq\left(\int_a^bf(t)^2~\mathrm dt\right)\left(\int_a^bg(t)^2~\mathrm dt\right)</math>}}
Ligne 63 ⟶ 77 :
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans l²(R)|contenu=
<math>E=\ell^2(\R)</math> muni du produit scalaire <math>\forall(u,v)\in E^2,~(\langle u|v)\rangle=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n</math>
*La norme associée est la norme 2 : <math>\forall u\in E,~||u||_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(u,v)\in E^2,~\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n\right)^2\leq \left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n^2\right)</math>}}
 
 
{{Bas de page
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Espace préhilbertien réel]] | précédent = [[../Formes bilinéaires symétriques/]] | suivant = [[../Orthogonalité/]]}}
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[../]]
| précédent = [[../Formes bilinéaires symétriques/]]
| suivant = [[../Orthogonalité/]]
}}
 
[[Catégorie:Espace préhilbertien réel]]
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