« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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Robot : Changement de type cosmétique
mAucun résumé des modifications
m (Robot : Changement de type cosmétique)
{{clr}}
{{Solution|contenu=
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
* Soit <math>f\in E</math>
:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math>
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math>
 
On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par :
* qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math>
* qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math>
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math>
 
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\to\ln(2)</math>
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