« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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Ligne 34 :
{{Solution|contenu=
On suppose que <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>.
* Par définition du noyau, <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(x)=0</math>
:Donc, comme <math>u\in\mathcal L(E),~\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(u(x))=0</math>
:On obtient <math>\color{Red}{\mathrm{Ker}(u)\subset\mathrm{Ker}(u^2)}</math>
* Soit <math>x\in\mathrm{Ker}(u^2)</math>.
:Par définition du noyau, <math>u^2(x)=u(u(x))=0\,</math>
:On en déduit que <math>u(x)\in\mathrm{Ker}(u)</math> car <math>u(\color{Blue}{u(x)}\color{Black})=0</math>
Ligne 48 :
On suppose maintenant que <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\,</math>
* Soit <math>x\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>
:<math>x\in\mathrm{Im}(u)</math> donc il existe <math>y\in E,~u(y)=x</math>
:<math>x\in\mathrm{Ker}(u)</math> donc <math>u(x)=0\,</math>
Ligne 68 :
{{Solution|contenu=
* On suppose <math>x \in \rm{Ker}(u)</math>. On a alors <math>v(x) = (w\circ u)(x) = w(u(x)) = w(0)=0</math>. Donc <math>\rm{Ker}(u) \subset \rm{Ker}(v)</math>. De même, on trouve <math>\rm{Ker}(v) \subset \rm{Ker}(w)</math> et <math>\rm{Ker}(w) \subset \rm{Ker}(u)</math>.
Finalement, on a bien <math>\rm{Ker}(u) = \rm{Ker}(v) = \rm{Ker}(w)</math>
* On suppose <math>y \in \rm{Im}(u)</math>. Il existe <math>x \in E </math> tel que <math>y = u(x) = (v\circ w)(x) = v(w(x))</math>. Comme <math>w(x) \in E</math>, il vient <math>\rm{Im}(u) \subset \rm{Im}(v)</math>. De même, on trouve <math>\rm{Im}(v) \subset \rm{Im}(w)</math> et <math>\rm{Im}(w) \subset \rm{Im}(u)</math>.
Finalement, on a bien <math>\rm{Im}(u) = \rm{Im}(v) = \rm{Im}(w)</math>
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