« Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique » : différence entre les versions

* On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :

** <math>\overrightarrow{OM} = r \vec u_r</math>

** <math>r>>R~</math>

* Soit ''P'' un point courant de la spire, repéré par l'angle <math>\varphi</math> entre <math>\vec u_y</math> et <math>\overrightarrow{OP}</math>. Le champ magnétique créé en M par un élément <math>\mathrm d \vec l</math> de spire placé en P vaut <math>\mathrm d\vec B(M) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM}}{PM^3}</math>

* <math>\mathrm d \vec l = \mathrm d \overrightarrow{OP} = \mathrm d\varphi~

* <math>\overrightarrow{PM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=~

* <math>PM^3=||\overrightarrow{PM}||^3=(R^2+r^2-2rR\sin(\theta) \cos(\varphi))^{\frac32}</math> donc <math>\frac1{PM^3}=\frac1{r^3} \left ( 1 -2\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) + \frac{R^2}{r^2} \right )^{-\frac32}</math>

* On calcule le produit vectoriel :

* On reprend l'expression de <math>\mathrm d \vec B(M)</math> :

* Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour <math>\varphi</math> variant entre 0 et <math>2 \pi</math>. Sachant que :

** <math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>

** <math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi) \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>

** <math>\int_0^{2\pi} \sin^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \cos^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \pi</math>

* possède une énergie potentielle magnétique <math>W_m=-\vec\mathfrak m\cdot\vec B</math>

* est soumis à une force <math>\vec F=-\vec\nabla W_m=\vec\nabla(\vec\mathfrak m\cdot\vec B)</math>

* est soumis à un moment <math>\vec\Gamma=\vec\mathfrak m\wedge\vec B</math>}}