« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
== Projecteurs orthogonaux ==
=== Projection sur un sous-espace vectoriel ===
Soit F un sous-espace vectoriel de E de '''dimension finie'''.
Ligne 22 :
{{Propriété|contenu=Soit <math>(x,y)\in E^2</math>
* <math>||p_F(x)||\leq ||x||</math>
* <math>||p_F(x)|| =||x|| \Leftrightarrow x\in F</math>
* <math>\langle p_F(x)|y\rangle=\langle x|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>(x,y)\in E^2</math>
* <math>E=F\oplus F^\perp</math> donc
:<math>\begin{matrix} x&+&\underbrace{ p_F(x)}&+&\underbrace{ x-p_F(x) } \\ &&\in F&&\in F^\perp \end{matrix}</math>
:On applique le théorème de Pythagore : <math>||x||^2=||p_F(x)||^2+||x-p_F(x)||^2\,</math>, d'où <math>||p_F(x)||\leq ||x||</math>
:On a égalité ssi <math>||x-p_F(x)||^2=0\,</math> ssi <math>x=p_F(x)\,</math> ssi <math>x\in F</math>
* <math>y=p_F(y)+y-p_F(y)\,</math>
:<math>\langle p_F(x)|y\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle p_F(x)|y-p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>
:<math>\langle x|p_F(y)\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle x-p_F(x)|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>}}
Ligne 54 :
La '''distance de ''x'' à F''' vaut <math>d(x,F)=||x-p_F(x)||\,</math>.
* <math>d(x,F)^2=||x||^2-||p_F(x)||^2\,</math>
* <math>p_F(x)\,</math> est l'unique vecteur ''y'' de F vérifiant <math>||x-y||=d(x,F)\,</math>}}
{{Démonstration déroulante}}
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