« Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction » : différence entre les versions

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m Robot : Changement de type cosmétique
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On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l'expression à partir d'un réel ''x'' est obtenue en deux temps :
* On applique d'abord une fonction affine
* On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ
 
 
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{{principe|titre=Méthode de dérivation|contenu=
* Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
* Identifier <math>ax+b\,</math> et <math>f\,</math>
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée <math>f'\,</math>
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ''g'' et calculer sa dérivée <math>g'\,</math> avec le théorème
}}
 
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Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=3x+2</math>
 
 
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^2</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=2X</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
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Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
 
 
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
 
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Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=-4x+5</math>
 
 
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^3</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=3X^2</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
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=== Exemple 3 ===
 
* Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto \left(\frac{1}{2}x+5\right)^4\,</math>. Dériver ''g''
Le schéma est
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Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
 
 
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
 
Ligne 210 :
 
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=\frac{1}{2}x+5</math>
 
 
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^4</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=4X^3</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b\,</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
 
 
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
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=== Exemple 4 ===
 
* Soit g la fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D</math> par <math>g:x\mapsto \frac{1}{(2x+1)^3}</math>. Dériver ''g''.
 
 
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Par ailleurs, pour tout <math>X\in\R^*,~f'(X)=-\frac3{X^4}</math>}}
 
* Enfin, on applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>
 
Ligne 395 :
 
 
* Enfin, on applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>