« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Robot : Changement de type cosmétique
m (Robot : Changement de type cosmétique)
Déterminer les limites suivantes :
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
{{Solution|contenu=
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math>
* Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
* De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>.
* Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math>
* On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>.
* On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math>
* De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2\,</math>.
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math>
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>.
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}</math>
* On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x\,</math>.
* Soit <math>x\in\R</math>.
* On a
:<math>\begin{align}
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X}
\end{align}</math>
* On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math>
* et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math>
* Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math>
* On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
}}
 
{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\
\end{align}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}x-2\ln(x)=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>\begin{align}
&=x-\frac12\ln(x)\\
\end{align}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
}}
 
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