« Statique des fluides/Exercices/Barrage » : différence entre les versions
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Ligne 16 :
On fait le bilan des forces sur le barrage; on s'appuie sur la modélisation suivante pour la résolution de l'exercice:
[[Fichier:Barrage2.JPG |center|thumb|400px|Barrage 2 - Schéma]]
Bilan des forces:
<math> \vec {F_1}\begin{cases} F_1 \\ 0 \\0 \end{cases} </math> et <math> \vec {F_2}\begin{cases} 0 \\ F_2 \\0 \end{cases} </math>
<math> \vec F </math> force de pression résultante.
<math>\vec {F}\begin{cases} F_x=-{F \over \sqrt 2} \\ F_y=-{F\over \sqrt 2} \\0 \end{cases} </math>
Il faut donc exprimer F. La force de pression sur un élement de surface dS de normale n est:
<math> d \vec F = - \rho_{eau} gz R d \Theta dz \vec n </math>
soit ▼
<math> \begin{cases} dF_x = -\rho_{eau}gzRd \Theta dz cos \Theta \\ dF_y = -\rho_{eau}gzRd\Theta dz sin \Theta \\ 0 \end{cases} </math>
On a donc :
<math> F_x = - \int_{0}^h \int_{0}^{\pi \over 2} {\rho_{eau} gz R d \Theta dz cos \Theta}\, </math>
<math> F_x = \rho_{eau} g R \int_{0}^h z dz \int_{0}^{\pi \over 2} cos \Theta d\Theta </math>
<math> F_x = -\rho_{eau} g R [{z^2 \over 2 ]_0^h ▼
<math> F_x = -\rho_{eau} g R [{z^2 \over 2} ]_{0}^{h} [sin \Theta]_{0}^{\pi \over 2} </math>
En reprenant l'équation précedente, on obtient:
<math> F= -F_x \sqrt 2 = {\rho_{eau}g R h^2 \over \sqrt 2} = F </math>
On a l'équilibre du barrage pour
<math> \begin{cases} F_1 + F_x = 0 \\ F_2 + F_y = 0 \end{cases} \rightarrow F_1 = F_2 = {F \over \sqrt 2 } </math>
En application numérique, on trouve:
<math> F_1= 5,89.10^7 N </math>
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