« Statique des fluides/Exercices/Nappe de pétrole » : différence entre les versions
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Ligne 22 :
{{Solution|contenu=
1) On calcule la masse de pétrole:
<math> M_p = \rho_p d \pi R^2 </math>▼
▲<math> M_p = \rho_p d \pi R^2 \,</math>
Masse du volume d'eau déplacé:
<math> M = \rho_{eau} ( d-h)\pi R^2 </math>▼
▲<math> M = \rho_{eau} ( d-h)\pi R^2 \,</math>
Poussée d'Archimède:
<math> \rho_p d \pi R^2 = \rho_{eau} ( d-h) \pi R^2 </math>▼
<math> h = d (1 - {\rho_p \over \rho_{eau}) </math>▼
▲<math> \rho_p d \pi R^2 = \rho_{eau} ( d-h) \pi R^2 \,</math>
▲<math> h = d (1 - {\rho_p \over \rho_{eau}}) \,</math>
On trouve:
<math> h = 5cm </math>▼
▲<math> h = 5cm \,</math>
Force de tension dans une barrière:
Pour une barrière fine, la différence de pression de part et d'autre de la barriere génère une tension dans la barrière.
C'est la loi de Pascal ( même chose que pour la tension superficielle dans une bulle).
On a alors:
<math> \Delta P = {T \over R } </math> pour un cylindre.▼
<math> \Delta P = {2T \over R } </math> pour une sphère.▼
▲<math> \Delta P = {T \over R } \,</math> pour un cylindre.
▲<math> \Delta P = {2T \over R } \,</math> pour une sphère.
Pour un cylindre, dans notre cas, on schématise la situation comme suivant:
[[Fichier:Nappe_de_pétrole.JPG |center|thumb|400px|Nappe de pétrole - Schéma]]
A l'équilibre, on a :
<math> \Delta P R d \Theta dz = 2T sin {d\Theta \over 2} dz </math>▼
On considère <math> d \Theta \,</math> petit donc on a:
<math> \Delta PR= T\,</math>▼
▲<math> \Delta PR= T</math>
Finalement, on écrit:
<math> T = R \Delta P </math>▼
▲<math> T = R \Delta P \,</math>
Différence de pression:
On schématise la situation en coupe comme suivant:
[[Fichier:Nappe_de_pétrole.JPG |center|thumb|400px|Nappe de pétrole - Schéma]]
On ne prends pas en compte la pression atmosphérique car elle agit des 2 cotés de la barrière.
Ligne 85 ⟶ 139 :
<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -P_{petrole} \\ z>h: \Delta P = -P_{petrole} + P_{eau} \end{cases} </math>▼
▲<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -P_{petrole} \\ z>h: \Delta P = -P_{petrole} + P_{eau} \end{cases} \,</math>
<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz \\ z>h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz + \rho_{eau}g(z-h) \end{cases} \,</math>▼
▲<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz \\ z>h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz + \rho_{eau}g(z-h) \end{cases} </math>
Ligne 94 ⟶ 151 :
<math>\begin{cases} z<h: T=-R\rho_{petrole}gz \\ z>h: T=Rg[z (\rho_{eau} -\rho_{petrole}) -\rho_{eau}h] \end{cases} \,</math>
Ligne 102 ⟶ 160 :
<math>\begin{cases} z<h: T = -392400 z \\ z>h: 490,5 ( 200 z - 50 ) \end{cases} \,</math>
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